Esboce e calcule a área da região delimitada pelas curvas abaixo:
e
Passo 1
O enunciado pede o esboço e o cálculo da área da região limitada pelas curvas
,
e pela reta vertical
.
O conteúdo principal é o cálculo de área entre curvas, usando a fórmula
O conteúdo principal é o cálculo de área entre curvas, usando a fórmula
onde
é a função de cima e
a de baixo, no intervalo
.
Passo 2
Primeiro, achamos o ponto de interseção entre
e
.
Igualamos
Igualamos
isto é,
Note que a função
é estritamente crescente em
e
. Logo, a única solução é
com
. Esse é o vértice esquerdo da região.
Passo 3
Para
, comparamos os valores de
e de
:
em tem-se
enquanto
, logo
fica acima de
.
Em , os valores são
e
.
Assim, a região é fechada por:
em
Em
Assim, a região é fechada por:
- Do ponto
até pela curva . - Da reta vertical
entre e . - Da curva reta
de de volta a .
Passo 4
Escrevemos a integral para a área entre as curvas de
a
:
Passo 5
Calculamos a integral. Note que
Logo,
Avaliando de
a
:
Resposta
A área da região é