Esboce e calcule a área da região delimitada pelas curvas abaixo:
y=\ln (x), y=-x+1 e x=e

Passo 1

O enunciado pede o esboço e o cálculo da área da região limitada pelas curvas \;y=\ln(x), \;y=-x+1 e pela reta vertical \;x=e.
O conteúdo principal é o cálculo de área entre curvas, usando a fórmula
\text{Área} = \int_{a}^{b} \bigl[f(x) - g(x)\bigr]\,dxÁ
onde f(x) é a função de cima e g(x) a de baixo, no intervalo [a,b].

Passo 2

Primeiro, achamos o ponto de interseção entre \ln(x) e -x+1.
Igualamos
\ln(x) = -x + 1
isto é,
\ln(x) + x - 1 = 0.
Note que a função h(x)=\ln(x)+x-1 é estritamente crescente em x>0 e h(1)=\ln(1)+1-1=0. Logo, a única solução é x=1, com y=\ln(1)=0. Esse é o vértice esquerdo da região.

Passo 3

Para 1 \le x \le e, comparamos os valores de \ln(x) e de -x+1:
em x>1 tem-se \ln(x)>0 enquanto -x+1<0, logo \ln(x) fica acima de -x+1.
Em x=e, os valores são \ln(e)=1 e -e+1.
Assim, a região é fechada por:
  1. Do ponto (1,0) até (e,1) pela curva y=\ln(x).
  2. Da reta vertical x=e entre y=1 e y=-e+1.
  3. Da curva reta y=-x+1 de (e,-e+1) de volta a (1,0).

Passo 4

Escrevemos a integral para a área entre as curvas de x=1 a x=e:
\text{Área} = \int_{1}^{e} \bigl[\ln(x) - \bigl(-x+1\bigr)\bigr]\,dx = \int_{1}^{e} \bigl(\ln(x) + x - 1\bigr)\,dx.Á

Passo 5

Calculamos a integral. Note que
\int \ln(x)\,dx = x\ln(x) - x,\quad \int x\,dx = \frac{x^{2}}{2},\quad \int 1\,dx = x.
Logo,
\int \bigl(\ln(x) + x - 1\bigr)\,dx = \bigl[x\ln(x) - x + \tfrac{x^{2}}{2} - x\bigr] + C = x\ln(x) + \tfrac{x^{2}}{2} - 2x + C.
Avaliando de 1 a e:
\Bigl(e\ln(e) + \tfrac{e^{2}}{2} - 2e\Bigr) - \Bigl(1\ln(1) + \tfrac{1^{2}}{2} - 2\cdot1\Bigr) = \bigl(e + \tfrac{e^{2}}{2} - 2e\bigr) - \bigl(0 + \tfrac12 - 2\bigr) = \frac{e^{2}}{2} - e + \frac{3}{2}.

Resposta

A área da região é
\boxed{\frac{e^{2} - 2e + 3}{2}}.

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