Calcule as integrais abaixo indicando o método utilizado em cada passo.
\int 4 x \cdot \operatorname{arctg}\left(x^{2}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int 4x \,\operatorname{arctg}\bigl(x^{2}\bigr)\,dx
usando métodos de integração. Aqui vamos combinar duas técnicas: substituição (u-sub) e depois integração por partes.

Passo 2

Método: substituição. Note que a derivada de x^2 é 2x, então definimos
t = x^2 \quad\Longrightarrow\quad dt = 2x\,dx \quad\Longrightarrow\quad 4x\,dx = 2\,dt.
Assim a integral fica
\int 4x\,\operatorname{arctg}(x^2)\,dx = 2 \int \operatorname{arctg}(t)\,dt.

Passo 3

Método: integração por partes para \displaystyle\int \operatorname{arctg}(t)\,dt. Escolhemos
u = \operatorname{arctg}(t), \quad dv = dt \quad\Longrightarrow\quad du = \frac{1}{1+t^2}\,dt, \quad v = t.
Aplicando
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du
vem
\int \operatorname{arctg}(t)\,dt = t\,\operatorname{arctg}(t) - \int \frac{t}{1+t^2}\,dt.
Para \int \tfrac{t}{1+t^2}\,dt usamos a substituição w=1+t^2, dw=2t\,dt, obtendo
\int \frac{t}{1+t^2}\,dt = \frac{1}{2}\int \frac{1}{w}\,dw = \frac{1}{2}\ln\bigl(1+t^2\bigr).
Logo
\int \operatorname{arctg}(t)\,dt = t\,\operatorname{arctg}(t) - \frac{1}{2}\ln\bigl(1+t^2\bigr) + C.

Passo 4

Voltando à integral original e multiplicando por 2:
2\int \operatorname{arctg}(t)\,dt = 2\Bigl(t\,\operatorname{arctg}(t) - \tfrac{1}{2}\ln(1+t^2)\Bigr) + C = 2t\,\operatorname{arctg}(t) - \ln\bigl(1+t^2\bigr) + C.
Substituindo t = x^2, concluímos que
\int 4x\,\operatorname{arctg}(x^2)\,dx = 2x^2\,\operatorname{arctg}(x^2) - \ln\bigl(1+x^4\bigr) + C.

Resposta

\int 4x\,\operatorname{arctg}(x^2)\,dx = 2x^2\,\operatorname{arctg}(x^2) - \ln\bigl(1+x^4\bigr) + C.

Exercícios relacionados