Calcule as integrais abaixo indicando o método utilizado em cada passo.
\int \frac{5 x^{3}+3 x^{2}+x+2}{x^{4}+x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{5x^{3}+3x^{2}+x+2}{x^{4}+x^{2}}\,dx
esse é um caso de integração de função racional. Para resolver, vamos fatorar o denominador e usar decomposição em frações parciais.

Passo 2

Fatoramos o denominador:
x^{4}+x^{2}=x^{2}(x^{2}+1).
Logo, suponha a decomposição
\frac{5x^{3}+3x^{2}+x+2}{x^{2}(x^{2}+1)} =\frac{A}{x}+\frac{B}{x^{2}}+\frac{Cx+D}{x^{2}+1}.
Multiplicamos ambos os lados por x^{2}(x^{2}+1) para igualar numeradores:
5x^{3}+3x^{2}+x+2 =A\,x\,(x^{2}+1)+B\,(x^{2}+1)+(Cx+D)\,x^{2}.

Passo 3

Expandindo o lado direito e agrupando termos em potências de x\), obtemos \[A x^{3}+A x +B x^{2}+B +C x^{3}+D x^{2} =(A+C)x^{3}+(B+D)x^{2}+A x+B.
Comparando com o numerador 5x^{3}+3x^{2}+1x+2, igualamos coeficientes:
\begin{cases} A+C=5,\\\ B+D=3,\\\ A=1,\\\ B=2. \end{cases}
Daí A=1\], \(B=2, C=5-A=4, D=3-B=1.

Passo 4

Reescrevendo a integral com os coeficientes encontrados:
\frac{5x^{3}+3x^{2}+x+2}{x^{2}(x^{2}+1)} =\frac{1}{x}+\frac{2}{x^{2}}+\frac{4x+1}{x^{2}+1}.
Então
\int \frac{5x^{3}+3x^{2}+x+2}{x^{4}+x^{2}}\,dx =\int \frac{1}{x}\,dx +\int \frac{2}{x^{2}}\,dx +\int \frac{4x}{x^{2}+1}\,dx +\int \frac{1}{x^{2}+1}\,dx.

Passo 5

Integramos cada termo separadamente:
  1. \displaystyle \int \frac{1}{x}\,dx=\ln\lvert x\rvert.
  2. \displaystyle \int \frac{2}{x^{2}}\,dx =2\int x^{-2}\,dx =2\bigl(-x^{-1}\bigr) =-\frac{2}{x}.
  3. \displaystyle \int \frac{4x}{x^{2}+1}\,dx. Use u=x^{2}+1, du=2x\,dx, logo
\int \frac{4x}{x^{2}+1}\,dx =2\int \frac{2x}{x^{2}+1}\,dx =2\ln\bigl(x^{2}+1\bigr).
  1. \displaystyle \int \frac{1}{x^{2}+1}\,dx=\arctan x. Somando tudo, obtemos a primitiva.

Resposta

\boxed{ \int \frac{5x^{3}+3x^{2}+x+2}{x^{4}+x^{2}}\,dx =\ln\lvert x\rvert -\frac{2}{x} +2\ln\bigl(x^{2}+1\bigr) +\arctan x +C. }

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