Esboce e calcule a área da região delimitada pelas curvas abaixo:
y=x^{3} e y=2 x^{2}-x

Passo 1

O enunciado pede para esboçar e calcular a área da região limitada pelas curvas
y = x^3
e
y = 2x^2 - x.
O conteúdo principal é a técnica de área entre curvas, que envolve (1) achar interseções, (2) determinar qual função está acima, e (3) integrar a diferença.

Passo 2

Faça um esboço aproximado:
y = x^3 é uma curva que passa pela origem e cresce de forma cúbica.
y = 2x^2 - x é uma parábola com raízes em x=0 e x=1.
Para achar exatamente onde se cruzam, resolva
x^3 = 2x^2 - x
x^3 - 2x^2 + x = 0
x(x^2 - 2x + 1)=0
Logo as interseções ocorrem em x=0 e x=1.

Passo 3

Determinar quem é superior em [0,1]. Escolhendo x=0{,}5:
y_{cúbica} = (0{,}5)^3 = 0{,}125, \quad y_{parábola} = 2(0{,}5)^2 - 0{,}5 = 0.úá
Como 0{,}125 > 0, concluímos que, para 0<x<1,
y_{\text{topo}} = x^3, \quad y_{\text{fundo}} = 2x^2 - x.

Passo 4

A área A é dada por
A = \int_{0}^{1} \bigl[x^3 - (2x^2 - x)\bigr]\,dx = \int_{0}^{1} (x^3 - 2x^2 + x)\,dx.
Calcule uma primitiva:
\int (x^3 - 2x^2 + x)\,dx = \frac{x^4}{4} - \frac{2x^3}{3} + \frac{x^2}{2}.
Avalie de 0 a 1:
A = \left(\frac{1}{4} - \frac{2}{3} + \frac{1}{2}\right) - 0 = \frac{3 - 8 + 6}{12} = \frac{1}{12}.

Resposta

A área da região delimitada pelas curvas é \tfrac{1}{12}.

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