Esboce e calcule a área da região delimitada pelas curvas abaixo:
y=\ln (x), y=-x+1 e x=e(0,4 \mathrm{pts})

Passo 1

O enunciado pede o esboço e o cálculo da área da região limitada pelas curvas
y = \ln(x),\quad y = -\,x + 1,\quad x = e.
O conteúdo aqui é “área entre duas curvas” no intervalo determinado pelo ponto de interseção entre \ln(x) e -x+1 até a reta vertical x=e. Vamos precisar:
  1. Encontrar o ponto onde \ln(x) e -x+1 se cruzam.
  2. Determinar qual curva fica em cima e qual embaixo nesse intervalo.
  3. Montar e calcular a integral \displaystyle \int_{x_1}^{e}\bigl[\text{superior} - \text{inferior}\bigr]\,dx.

Passo 2

Para achar o ponto de interseção, igualamos
\ln(x) = -\,x + 1
ou seja,
\ln(x) + x - 1 = 0.
A função f(x)=\ln(x)+x-1 é estritamente crescente para x>0 (pois f'(x)=1/x+1>0), e satisfaz f(1)=0. Logo, a única solução é
x_1 = 1,\quad y_1 = \ln(1) = 0.
Esse ponto (1,0) é o limite esquerdo da região.

Passo 3

Para x entre 1 e e, comparemos os valores:
  • \ln(x) em x=2 vale \ln(2)\approx0{,}693.
  • -x+1 em x=2 vale -2+1=-1.
Logo, em todo o intervalo [1,e] temos
\ln(x)\ge -\,x+1,
então \ln(x) é a fronteira superior e -x+1 a inferior.

Passo 4

O esboço da região é aproximadamente assim:
– A curva \;y=\ln(x)\; sai de (1,0) e cresce até (e,1).
– A reta \;y=-x+1\; sai de (1,0) e decresce até \bigl(e,,-e +1\bigr).
– A reta vertical x=e fecha a figura à direita.

Passo 5

A área é dada por
A = \int_{1}^{e}\bigl[\ln(x)-(-x+1)\bigr]\,dx = \int_{1}^{e}\bigl(\ln(x)+x-1\bigr)\,dx.

Passo 6

Calculemos a integral:
\int (\ln(x)+x-1)\,dx = \int \ln(x)\,dx + \int x\,dx - \int 1\,dx = \bigl[x\ln(x)-x\bigr] + \frac{x^2}{2} - x.
Portanto,
A = \Bigl[x\ln(x)-x + \tfrac{x^2}{2} - x\Bigr]_{1}^{e} = \Bigl[e\cdot1 - e + \tfrac{e^2}{2} - e\Bigr] - \Bigl[1\cdot0 - 1 + \tfrac{1}{2} - 1\Bigr].
No numerador:
e - e + \frac{e^2}{2} - e = \frac{e^2}{2} - e,
e no denominador:
0 -1 + \tfrac12 -1 = -\tfrac32.
Subtraindo, vem
A = \Bigl(\frac{e^2}{2} - e\Bigr) - \bigl(-\tfrac32\bigr) = \frac{e^2}{2} - e + \frac{3}{2}.

Resposta

A = \frac{e^2}{2} - e + \frac{3}{2}.

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