Esboce e calcule a área da região delimitada pelas curvas abaixo:
e
Passo 1
O enunciado pede o esboço e o cálculo da área da região limitada pelas curvas
O conteúdo aqui é “área entre duas curvas” no intervalo determinado pelo ponto de interseção entre
e
até a reta vertical
. Vamos precisar:
- Encontrar o ponto onde
e se cruzam. - Determinar qual curva fica em cima e qual embaixo nesse intervalo.
- Montar e calcular a integral
.
Passo 2
Para achar o ponto de interseção, igualamos
ou seja,
A função
é estritamente crescente para
(pois
), e satisfaz
. Logo, a única solução é
Esse ponto
é o limite esquerdo da região.
Passo 3
Para
entre
e
, comparemos os valores:
-
em vale . -
em vale .
Logo, em todo o intervalo
temos
então
é a fronteira superior e
a inferior.
Passo 4
O esboço da região é aproximadamente assim:
– A curva sai de
e cresce até
.
– A reta sai de
e decresce até \bigl(e,,-e
\bigr).
– A reta vertical fecha a figura à direita.
– A curva
– A reta
– A reta vertical
Passo 5
A área é dada por
Passo 6
Calculemos a integral:
Portanto,
No numerador:
e no denominador:
Subtraindo, vem