Calcule as integrais abaixo indicando o método utilizado em cada passo.
\int \frac{5 x^{3}+3 x^{2}+x+2}{x^{4}+x^{2}} d x(0,4 pts )

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{5x^{3} + 3x^{2} + x + 2}{x^{4} + x^{2}} \, dx
O conteúdo é integração de fração racional e vamos usar decomposição em frações parciais.

Passo 2

Primeiro fatoramos o denominador e propomos a decomposição:
x^{4}+x^{2}=x^{2}(x^{2}+1)
\frac{5x^{3}+3x^{2}+x+2}{x^{2}(x^{2}+1)} = \frac{A}{x}+\frac{B}{x^{2}}+\frac{Cx+D}{x^{2}+1}

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados por x^{2}(x^{2}+1) e comparamos coeficientes:
5x^{3}+3x^{2}+x+2 = A\,x\,(x^{2}+1)+B\,(x^{2}+1)+(Cx+D)\,x^{2}
= (A+C)x^{3} + (B+D)x^{2} + A x + B
Comparando termo a termo:
A+C=5,\quad B+D=3,\quad A=1,\quad B=2
Logo
A=1,\;B=2,\;C=4,\;D=1.

Passo 4

Substituindo na integral, temos
\int \frac{1}{x}\,dx +\int \frac{2}{x^{2}}\,dx +\int \frac{4x}{x^{2}+1}\,dx +\int \frac{1}{x^{2}+1}\,dx.
Calculamos cada uma:
\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x|, \quad \int 2x^{-2}\,dx = -\frac{2}{x},
\int \frac{4x}{x^{2}+1}\,dx \quad\text{(com \(u=x^{2}+1\), \(du=2x\,dx\))} =2\ln(x^{2}+1),
\int \frac{1}{x^{2}+1}\,dx = \arctan(x).

Resposta

\ln|x| \;-\;\frac{2}{x}\;+\;2\ln\bigl(x^{2}+1\bigr)\;+\;\arctan(x)\;+\;C

Exercícios relacionados