Calcule as integrais abaixo indicando o método utilizado em cada passo.
\int \frac{x}{1+x^{4}} d x(0,4 \mathrm{pts})

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{x}{1+x^{4}}\,dx
O conteúdo envolvido é integração por substituição, pois no numerador temos x\,dx e x^{4}=(x^{2})^{2}, sugerindo usar u=x^{2}.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = x^{2}\
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du = 2x\,dx
ou seja
x\,dx = \frac{1}{2}\,du.

Passo 3

Reescrevendo a integral em u:
\int \frac{x}{1+x^{4}}\,dx = \int \frac{x\,dx}{1+(x^{2})^{2}} = \int \frac{x\,dx}{1+u^{2}} = \frac{1}{2}\int \frac{du}{1+u^{2}}.
Sabemos que
\int \frac{du}{1+u^{2}} = \arctan(u) + C.

Passo 4

Voltando à variável x, com u = x^{2}, obtemos
\frac{1}{2}\arctan(u) + C = \frac{1}{2}\arctan\bigl(x^{2}\bigr) + C.

Resposta

\int \frac{x}{1+x^{4}}\,dx = \frac{1}{2}\arctan\bigl(x^{2}\bigr) + C.

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