Esboce e calcule a área da região limitada pelas curvas:
x=y^2, y-x=-2.

Passo 1

A questão pede para esboçar e calcular a área da região limitada pelas curvas x=y^2 e y - x = -2. Esse é um problema de cálculo de área usando integrais. Para resolver, vamos esboçar as curvas, determinar seus pontos de interseção e montar uma integral adequada.

Passo 2

A parábola x=y^2 abre para a direita, e a reta y - x = -2 pode ser reescrita como x = y + 2. Para achar os pontos de interseção, igualamos
y^2 = y + 2 Longrightarrow y^2 - y - 2 = 0,cuja solução é y=2 ou y=-1. Substituindo em x=y^2, obtemos os pontos (4,2) e (1,-1).

Passo 3

Para cada y entre -1 e 2, a abscissa varia de x=y^2 (lado esquerdo) até x=y+2 (lado direito). Assim, a área é dada por
A = integraly=-1^2 l[(y+2) - y^2r],dy

Passo 4

Agora calculamos a integral. A antiderivada é
integral (y+2 - y^2),dy = y^22 + 2y - y^33

Passo 5

Avaliando de -1 a 2:
l(tfrac2^22 + 2cdot2 - tfrac2^33r) - l(tfrac(-1)^22 + 2cdot(-1) - tfrac(-1)^33r) = 276 = 92

Resposta

tfrac92

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