Prove que
e que
. Observação:
Passo 1
O enunciado pede para provar duas propriedades da transformada de Laplace: a propriedade de deslocamento no domínio de s, isto é,
, e a propriedade da derivada, isto é,
. Para isso, vamos usar a definição da transformada de Laplace e, no segundo caso, a técnica de integração por partes.
Passo 2
Começamos lembrando a definição da transformada de Laplace de uma função
de ordem exponencial:
Para provar a propriedade de deslocamento, calculamos
Reconhecemos esse último integral como
. Portanto,
Passo 3
Para provar a propriedade da derivada, partimos de
Aplicamos integração por partes, escolhendo
e
.
Assim,
Assim,
Sob as hipóteses usuais de existência da transformada (
de ordem exponencial), o termo de fronteira em
é zero. No limite
fica
. Portanto,