Prove que e que . Observação:

Passo 1

O enunciado pede para provar duas propriedades da transformada de Laplace: a propriedade de deslocamento no domínio de s, isto é, Le^btf(t)=F(s-b), e a propriedade da derivada, isto é, Lf'(t)=sF(s)-f(0). Para isso, vamos usar a definição da transformada de Laplace e, no segundo caso, a técnica de integração por partes.

Passo 2

Começamos lembrando a definição da transformada de Laplace de uma função f(t) de ordem exponencial:
Lf(t)(s)=integral0^inftye^-stf(t),dt
Para provar a propriedade de deslocamento, calculamos
Le^btf(t)(s)=integral0^inftye^-stl(e^btf(t)r),dt=integral0^inftye^-(s-b)tf(t),dt
Reconhecemos esse último integral como F(s-b). Portanto,
Le^btf(t)(s)=F(s-b)

Passo 3

Para provar a propriedade da derivada, partimos de
Lf'(t)(s)=integral0^inftye^-stf'(t),dt
Aplicamos integração por partes, escolhendo
u=e^-stRightarrow du=-s e^-stdt e
dv=f'(t)dtRightarrow v=f(t).
Assim,
integral0^inftye^-stf'(t),dt=l[e^-stf(t)r]0^infty+sintegral0^inftye^-stf(t),dt
Sob as hipóteses usuais de existência da transformada ( f(t) de ordem exponencial), o termo de fronteira em ttoinfty é zero. No limite t=0 fica -f(0). Portanto,
Lf'(t)(s)=sintegral0^inftye^-stf(t),dt-f(0)=sF(s)-f(0)

Resposta

Le^btf(t)=F(s-b) e Lf'(t)=sF(s)-f(0)

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