Use a forma polar para mostrar que
j(1-j raiz3)(raiz3+j)=2+2 j raiz3

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a identidade j(1 - jraiz3)(raiz3 + j) = 2 + 2jraiz3 é válida usando a forma polar de números complexos. O conteúdo aqui é representação polar e multiplicação de números complexos, e vamos precisar calcular módulos e argumentos de cada fator, multiplicar em forma polar e depois converter de volta para a forma retangular.

Passo 2

Vamos converter cada fator para a forma re^jtheta calculando módulo e argumento:
Para j:
|j| = 1, arg(j) = tfracpi2,
j = e^jpi/2
Para 1 - jraiz3:
|1 - jraiz3| = raiz1^2 + ( -raiz3)^2 = 2, arg(1 - jraiz3) = arctanl(tfrac-raiz31r) = -tfracpi3,
1 - jraiz3 = 2e^-jpi/3
Para raiz3 + j:
|raiz3 + j| = raiz(raiz3)^2 + 1^2 = 2, arg(raiz3 + j) = arctanl(tfrac1raiz3r) = tfracpi6,
raiz3 + j = 2e^jpi/6

Passo 3

Multiplicamos agora as três representações em forma polar: módulo é o produto dos módulos e argumento é a soma dos argumentos:
j(1 - jraiz3)(raiz3 + j) = e^jpi/2 cdot 2e^-jpi/3 cdot 2e^jpi/6 = 4,e^j(pi/2 - pi/3 + pi/6)
O ângulo fica
pi/2 - pi/3 + pi/6 = tfrac3pi6 - tfrac2pi6 + tfracpi6 = tfrac2pi6 = tfracpi3

Passo 4

Para voltar à forma retangular, escrevemos
4e^jpi/3 = 4l(cos(pi/3) + jsin(pi/3)r)
Como cos(pi/3)=tfrac12 e sin(pi/3)=tfracraiz32, confirmamos que o produto coincide com o lado direito da identidade.

Resposta

2 + 2jraiz3

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