Use resíduos para calcular
Passo 1
O exercício pede a transformada inversa de Laplace de
usando o método dos resíduos. O conteúdo aqui é a fórmula de inversão da transformada de Laplace via integral de contorno e aplicação do teorema dos resíduos. Vamos precisar da expressão
e da fórmula do resíduo para polo de ordem 3.
Passo 2
A fórmula de inversão de Laplace é dado por
No nosso caso,
, então o integrando é
Passo 3
Precisamos achar os polos de
. Aqui só há um polo em
, e é de ordem 3 (porque o denominador é
). Segundo o teorema dos resíduos, a integral vale
vezes o resíduo de
em
.
Passo 4
Para um polo de ordem 3 em
, o resíduo é dado por
Vamos derivar:
Então,
Passo 5
Como a integral de inversão é
vezes o resíduo e veio multiplicada por
, concluímos que