Use resíduos para calcular

Passo 1

O exercício pede a transformada inversa de Laplace de 2s^3 usando o método dos resíduos. O conteúdo aqui é a fórmula de inversão da transformada de Laplace via integral de contorno e aplicação do teorema dos resíduos. Vamos precisar da expressão f(t)=12pi iintegralgamma-iinfty^gamma+iinftyF(s)e^st,ds e da fórmula do resíduo para polo de ordem 3.

Passo 2

A fórmula de inversão de Laplace é dado por
f(t)=12pi iintegralgamma-iinfty^gamma+iinftyF(s)e^st,ds
No nosso caso, F(s)=2s^3, então o integrando é
G(s)=F(s)e^st=2e^sts^3

Passo 3

Precisamos achar os polos de G(s). Aqui só há um polo em s=0, e é de ordem 3 (porque o denominador é s^3). Segundo o teorema dos resíduos, a integral vale 2pi i vezes o resíduo de G(s) em s=0.

Passo 4

Para um polo de ordem 3 em s=0, o resíduo é dado por
Res(G,0)=12!limsto0d^2ds^2l[(s-0)^32e^sts^3r] =12limsto0d^2ds^2l[2e^str]
Vamos derivar:
dds[2e^st]=2t e^st,
d^2ds^2[2e^st]=2t^2 e^st
Então,
Res(G,0)=12l(2t^2 e^0r)=t^2

Passo 5

Como a integral de inversão é 2pi i vezes o resíduo e veio multiplicada por 1/(2pi i), concluímos que
f(t)=t^2

Resposta

t^2

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