Esboce e calcule a área da região limitada pelas curvas:
y=12-x^2, y=x+6.

Passo 1

O exercício pede para esboçar a região limitada pelas curvas y=12−x² e y=x+6 e calcular sua área. Vamos usar interseção de funções, esboço de gráficos e integração de diferenças de funções.

Passo 2

Igualamos as duas curvas para achar os pontos de interseção: resolvendo 12−x² = x+6 obtemos
12 - x^2 = x + 6 Longrightarrow x^2 + x - 6 = 0
que fatorando dá (x+3)(x−2)=0, logo x=2 e x=−3. Calculamos também y para cada x: em x=−3, y=−3+6=3; em x=2, y=2+6=8.

Passo 3

Esboçamos um gráfico rápido: a parábola y=12−x² tem vértice em (0,12) e abre para baixo; a reta y=x+6 passa por (0,6) com inclinação 1. Marcamos os pontos de interseção (−3,3) e (2,8) e vemos que, entre x=−3 e x=2, a parábola fica acima da reta.

Passo 4

Como a fronteira superior é y=12−x² e a inferior é y=x+6 no intervalo [−3,2], a área vale a integral
A = integral-3^2 l[(12 - x^2) - (x + 6)r] ,dx

Passo 5

Simplificamos o integrando: (12−x²)−(x+6)=6−x−x². A primitiva é
integral (6 - x - x^2) ,dx = 6x - x^22 - x^33 + C

Passo 6

Avaliando de x=−3 até x=2:
F(2) = 6cdot2 - 2^22 - 2^33 = 12 - 2 - 83 = 223,
F(-3) = 6(-3) - (-3)^22 - (-3)^33 = -18 - 92 + 9 = -272

Passo 7

Logo
A = F(2) - F(-3) = 223 - l(-tfrac272r) = 223 + 272 = 1256

Resposta

1256

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