Esboce e calcule a área da região limitada pelas curvas:
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Passo 1
O exercício pede para esboçar a região limitada pelas curvas y=12−x² e y=x+6 e calcular sua área. Vamos usar interseção de funções, esboço de gráficos e integração de diferenças de funções.
Passo 2
Igualamos as duas curvas para achar os pontos de interseção: resolvendo 12−x² = x+6 obtemos
que fatorando dá (x+3)(x−2)=0, logo x=2 e x=−3. Calculamos também y para cada x: em x=−3, y=−3+6=3; em x=2, y=2+6=8.
Passo 3
Esboçamos um gráfico rápido: a parábola y=12−x² tem vértice em (0,12) e abre para baixo; a reta y=x+6 passa por (0,6) com inclinação 1. Marcamos os pontos de interseção (−3,3) e (2,8) e vemos que, entre x=−3 e x=2, a parábola fica acima da reta.
Passo 4
Como a fronteira superior é y=12−x² e a inferior é y=x+6 no intervalo [−3,2], a área vale a integral
Passo 5
Simplificamos o integrando: (12−x²)−(x+6)=6−x−x². A primitiva é
Passo 6
Avaliando de x=−3 até x=2:
Passo 7
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