Prove que uc(t), onde uc(t)= 1, & t >= c 0, & t é a Função de Heaviside

Passo 1

O enunciado pede para provar a propriedade de deslocamento na Transformada de Laplace, ou seja, mostrar que Luc(t)f(t-c)=e^-csF(s). Aqui usaremos a definição da Transformada de Laplace e faremos uma mudança de variável, aproveitando que a função de Heaviside uc(t) “liga” a integral só a partir de t=c.

Passo 2

A definição da Transformada de Laplace de uma função g(t) é
Lg(t)=integral0^inftyg(t)e^-st,dt
Aplicando com g(t)=uc(t)f(t-c) temos
Luc(t)f(t-c)=integral0^inftyuc(t)f(t-c)e^-st,dt

Passo 3

Como uc(t)=0 para t e uc(t)=1 para t>= c, podemos trocar o limite inferior da integral de 0 para c:
integral0^inftyuc(t)f(t-c)e^-st,dt=integralc^inftyf(t-c)e^-st,dt

Passo 4

Fazemos agora a mudança de variável tau = t - c. Então quando t=c, tau=0; quando ttoinfty, tautoinfty; e dt=dtau. A integral vira
integralc^inftyf(t-c)e^-st,dt=integral0^inftyf(tau)e^-s(tau+c),dtau

Passo 5

Dentro da integral podemos separar o fator e^-sc que não depende de tau:
integral0^inftyf(tau)e^-s(tau+c),dtau=e^-scintegral0^inftyf(tau)e^-stau,dtau=e^-csF(s)

Resposta

Luc(t)f(t-c)=e^-csF(s)

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