Esboce e calcule a área da região limitada pelas curvas:
y=12-x^2, y=x-8.

Passo 1

Na questão, vamos esboçar e calcular a área da região limitada pelas curvas y=12 - x^2 e y = x - 8. O conteúdo principal é cálculo de áreas de regiões usando integrais definidas. Para resolver, precisamos: 1) encontrar pontos de intersecção; 2) identificar a curva superior e a curva inferior; 3) montar e calcular a integral da diferença.

Passo 2

Para achar os pontos de intersecção, igualamos as funções: 12 - x^2 = x - 8. Isso leva à equação quadrática x^2 + x - 20 = 0. Resolvendo pelo fórmula de Bhaskara, obtemos as raízes x = 4 e x = -5. Esses serão os limites de integração.

Passo 3

Agora determinamos qual função está acima da outra no intervalo [-5,4]. Podemos testar um ponto, por exemplo x=0. Então yparábola=12á e yreta=-8. Logo a parábola está sempre acima da reta nesse intervalo.

Passo 4

A área da região é dada pela integral definida da diferença entre a curva superior e a inferior:
A = integral-5^4 l[(12 - x^2) - (x - 8)r] ,dx
Simplificando o integrando, obtemos 20 - x - x^2.

Passo 5

Calculamos a integral:
A = integral-5^4 (20 - x - x^2) ,dx = l[20x - x^22 - x^33r]-5^4
Substituindo os limites de integração, obtemos
A = l(80 - 8 - tfrac643r) - l(-100 - tfrac252 + tfrac1253r) = 2432

Resposta

2432

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