Esboce e calcule a área da região limitada pelas curvas:
.
Passo 1
Na questão, vamos esboçar e calcular a área da região limitada pelas curvas
e
. O conteúdo principal é cálculo de áreas de regiões usando integrais definidas. Para resolver, precisamos: 1) encontrar pontos de intersecção; 2) identificar a curva superior e a curva inferior; 3) montar e calcular a integral da diferença.
Passo 2
Para achar os pontos de intersecção, igualamos as funções:
. Isso leva à equação quadrática
. Resolvendo pelo fórmula de Bhaskara, obtemos as raízes
e
. Esses serão os limites de integração.
Passo 3
Agora determinamos qual função está acima da outra no intervalo
. Podemos testar um ponto, por exemplo
. Então
e
. Logo a parábola está sempre acima da reta nesse intervalo.
Passo 4
A área da região é dada pela integral definida da diferença entre a curva superior e a inferior:
Simplificando o integrando, obtemos
.
Passo 5
Calculamos a integral:
Substituindo os limites de integração, obtemos