Seja f uma função racional na forma
f(z)=N(z)D(z)onde o grau de N é estritamente menor que D. Utilizando resíduos, podemos escrever a função f sob a forma de frações parciais com a fórmula a seguir:
f(z)=sumsk Res[f(s)z-s, sk]onde sk é um pólo de f(s).
Sabemos que se f tem um pólo de ordem m em s0, então:
Res[f(s)z-s, s0]=lim s s0 (s-s0) f(s)z-sse m=1 o u
Res[f(s)z-s, s0]=1(m-1)! lim s s0 d^m-1d s^m-1[(s-s0)^m f(s)z-s],se m>1. Nota
Utilize as fórmulas anteriores para obter a expansão em frações parciais das funções abaixo.
f(z)=1z(z-1)

Passo 1

Temos a função f(z)=1z(z-1). O objetivo é fazer a decomposição em frações parciais via teorema dos resíduos. Para isso precisamos identificar polos simples e usar a fórmula Res[tfracf(s)z-s,s0]=limsto s0(s-s0)f(s)z-s.

Passo 2

O denominador se anula em s=0 e s=1, logo esses são polos simples de f(s).

Passo 3

Aplicando a fórmula de resíduo em cada polo simples: Para s0=0:
Resgl[f(s)z-s,0gr] =limsto 0scdottfrac1s(s-1)z-s =limsto 01(s-1)(z-s) =-1z
Para s1=1:
Resgl[f(s)z-s,1gr] =limsto 1(s-1)cdottfrac1s(s-1)z-s =limsto 11s(z-s) =1z-1

Passo 4

Somando os termos vindos de cada resíduo, escrevemos a expansão em frações parciais de f(z) a partir dos polos.
A expansão em frações parciais fica dada por: (conferir abaixo em resposta final)

Resposta

f(z) = -1z + 1z-1

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