Seja um sistema linear governado pelos problemas de valor inicial a segui. Encontre a função de transferencia H(s) para o sistema e a função de resposta ao impulso h(t). Em seguida, dĂȘ uma fĂłrmula para a solução do problema de valor inicial.
ly^prime prime+9 y=g(t) ; y(0)=2 ; y^prime(0)=-3

Passo 1

Resumindo: temos o sistema LTI descrito pela EDO y''+9y=g(t) com condições iniciais y(0)=2 e y'(0)=-3. Para resolver, vamos usar transformada de Laplace, função de transferência e convolução.

Passo 2

Para obter a função de transferência, zeramos as condições iniciais e aplicamos transformada de Laplace:
s^2 Y(s) + 9Y(s) = G(s)
Isso dá
H(s) = Y(s)G(s) = 1s^2+9

Passo 3

A resposta ao impulso h(t) é a inversa de Laplace de H(s). Sabemos que
L^-1tfrac1s^2+a^2 = tfrac1asin(at)
Aqui a=3, logo
h(t) = tfrac13sin(3t)

Passo 4

Agora levamos em conta as condições iniciais: aplicando Laplace em y''+9y=g(t) sem zerar as iniciais, usamos
Ly'' = s^2Y(s) - s y(0) - y'(0)
Assim
(s^2+9)Y(s) = G(s) + 2s -3,
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Y(s) = H(s)G(s) + 2s-3s^2+9

Passo 5

Para obter y(t), invertemos os termos: o segundo termo é a parte livre e gera a resposta homogênea, e o primeiro é a parte particular via convolução. Fazendo a inversa:
y(t) = 2cos(3t) - sin(3t) + integral0^t tfrac13sinl(3(t-tau)r),g(tau),dtau

Resposta

H(s)=1s^2+9, h(t)=13sin(3t) e y(t)=2cos(3t)-sin(3t)+integral0^t 13sinl(3(t-tau)r)g(tau),dtau.

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