Esboce o campo de direções para a equação diferencial. Use-o para esboçar três curvas solução.
y^prime=3+2 y

Passo 1

Começamos com a equação diferencial y'=3+2y, que é autônoma (depende só de y). Queremos desenhar o campo de direções (segmentos de reta com inclinação m=3+2y ao longo de várias linhas horizontais) e depois traçar três curvas solução.

Passo 2

Para montar o campo de direções note que, em cada linha y=const, a inclinação é sempre m=3+2y. Por exemplo,
– em y=-tfrac32 temos m=3+2(-tfrac32)=0 (segmentos horizontais);
– em y=-1 temos m=3+2(-1)=1 (inclinação suave positiva);
– em y=0 temos m=3+2cdot0=3 (inclinação mais acentuada);
– em y=1 temos m=3+2cdot1=5 (bem íngreme);
– em y=-2 temos m=3+2(-2)=-1 (inclinação suave negativa).
Esses segmentos formam o campo de direções: linhas horizontais com inclinação constante definida por m=3+2y.

Passo 3

Agora resolvemos a ODE para obter as curvas exatas. Separamos variáveis:
dy3+2y=dx,
integramos ambos os lados:
12ln|3+2y|=x+C,
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3+2y=K e^2x,
e isolando y:
y=K2e^2x-32,
onde K é constante arbitrária.

Passo 4

Escolhemos três valores para K e esboçamos as correspondentes curvas:
– Para K=0: y=-tfrac32 (solução constante, linha de equilíbrio).
– Para K=1: y=tfrac12e^2x-tfrac32 (solução crescente acima de -tfrac32).
– Para K=-1: y=-tfrac12e^2x-tfrac32 (solução decrescente abaixo de -tfrac32).

Resposta

O campo de direções tem segmentos de reta em cada linha y=const com inclinação m=3+2y, anulando em y=-tfrac32. A solução geral é
y=K2e^2x-32,
e três curvas exemplo são
y=-tfrac32,
y=tfrac12e^2x-tfrac32,
y=-tfrac12e^2x-tfrac32

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