Esboce o campo de direções para a equação diferencial. Use-o para esboçar três curvas solução.
Passo 1
Começamos com a equação diferencial
, que é autônoma (depende só de
). Queremos desenhar o campo de direções (segmentos de reta com inclinação
ao longo de várias linhas horizontais) e depois traçar três curvas solução.
Passo 2
Para montar o campo de direções note que, em cada linha
, a inclinação é sempre
. Por exemplo,
– em temos
(segmentos horizontais);
– em temos
(inclinação suave positiva);
– em temos
(inclinação mais acentuada);
– em temos
(bem íngreme);
– em temos
(inclinação suave negativa).
Esses segmentos formam o campo de direções: linhas horizontais com inclinação constante definida por .
– em
– em
– em
– em
– em
Esses segmentos formam o campo de direções: linhas horizontais com inclinação constante definida por
Passo 3
Agora resolvemos a ODE para obter as curvas exatas. Separamos variáveis:
integramos ambos os lados:
logo
e isolando
:
onde
é constante arbitrária.
Passo 4
Escolhemos três valores para
e esboçamos as correspondentes curvas:
– Para :
(solução constante, linha de equilíbrio).
– Para :
(solução crescente acima de
).
– Para :
(solução decrescente abaixo de
).
– Para
– Para
– Para
Resposta
O campo de direções tem segmentos de reta em cada linha
com inclinação
, anulando em
. A solução geral é
e três curvas exemplo são