A receita marginal para a venda de um produto pode ser modelada pela função dRdx=50-0,02x+100x+1, onde x é o número de unidades da demanda onde R(0)=0.
Determine a função receita.

Passo 1

O enunciado dá a receita marginal dRdx = 50 - 0,02x + 100x+1 e pede a receita R(x) sabendo que R(0)=0. O conteúdo principal é cálculo de antiderivadas (integração) para obter R(x).

Passo 2

Vamos integrar cada termo de forma separada. Primeiro,
integral 50,dx = 50x
integral (-0,02x),dx = -0,02 cdot x^22 = -0,01x^2
integral 100x+1,dx = 100ln|x+1|

Passo 3

Agora somamos essas antiderivadas e adicionamos a constante de integração C:
R(x) = 50x - 0,01x^2 + 100ln(x+1) + C

Passo 4

Usamos a condição inicial R(0)=0. Substituindo x=0:
0 = R(0) = 50cdot0 - 0,01cdot0^2 + 100ln(1) + C = 0 + 0 + 100cdot0 + C
Logo, C=0.

Resposta

R(x)=50x - 0,01x^2 + 100ln(x+1)

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