Exercício 1.8.4 Determine o conjunto domínio e o conjunto imagem de cada uma das função abaixo.
h(x)=x-1x;

Passo 1

Resumo do enunciado e material: o exercício pede pra achar o domínio e a imagem da função racional h(x) = x - 1x. Vamos usar conceitos de função racional (restrição no denominador), derivada para investigar monotonicidade e limites nos extremos pra descobrir a imagem.

Passo 2

Determinação do domínio: como h(x) tem denominador x, não podemos ter x = 0. Logo, o domínio é
D = x in R: x neq 0 = R setminus 0

Passo 3

Monotonicidade da função: calculamos a derivada
h'(x) = 1 + 1x^2
Observe que 1 + 1x^2 > 0 para todo x neq 0. Isso significa que h é estritamente crescente em cada intervalo de definição (0,infty) e .

Passo 4

Análise dos limites nas extremidades de cada intervalo:
Para x to 0^+:
h(x) = x - 1x to -infty
Para x to +infty:
h(x) = x - 1x approx x to +infty
Para x to 0^-:
h(x) = x - 1x to +infty
Para x to -infty:
h(x) = x - 1x approx x to -infty
Como a função é crescente em cada ramo e percorre de -infty a +infty, ela atinge todos os valores reais.

Passo 5

Conclusão da imagem: com base nos limites e na monotonicidade, a imagem de h é todo o conjunto dos números reais, ou seja, R.

Resposta

Domínio: R setminus 0. Imagem: R.

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