Exercício 1.8.4 Determine o conjunto domínio e o conjunto imagem de cada uma das função abaixo.
;
Passo 1
Resumo do enunciado e material: o exercício pede pra achar o domínio e a imagem da função racional
. Vamos usar conceitos de função racional (restrição no denominador), derivada para investigar monotonicidade e limites nos extremos pra descobrir a imagem.
Passo 2
Determinação do domínio: como
tem denominador
, não podemos ter
. Logo, o domínio é
Passo 3
Monotonicidade da função: calculamos a derivada
Observe que
para todo
. Isso significa que
é estritamente crescente em cada intervalo de definição
e
.
Passo 4
Análise dos limites nas extremidades de cada intervalo:
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Como a função é crescente em cada ramo e percorre de
a
, ela atinge todos os valores reais.
Passo 5
Conclusão da imagem: com base nos limites e na monotonicidade, a imagem de
é todo o conjunto dos números reais, ou seja,
.
Resposta
Domínio:
. Imagem:
.