Exercício 1.8.4 Determine o conjunto domínio e o conjunto imagem de cada uma das função abaixo.
y=x+ax-a;

Passo 1

O enunciado pede pra gente achar o domínio e a imagem da função racional y = x + ax - a. Esse tipo de questão cai no conteúdo de funções racionais, e vamos precisar saber que o denominador não pode ser zero pra domínio e também usar inversão da função pra descobrir valores de y que não são atingidos.

Passo 2

Para encontrar o domínio, observamos que a única restrição vem do denominador x - a. Precisamos de x - a neq 0. Logo, x neq a. Em outras palavras, o domínio é R setminus a.

Passo 3

Para achar a imagem, a ideia é resolver y = x + ax - a para x em função de y. Fazendo y(x - a) = x + a e isolando x a gente chega em
x = a(y + 1)y - 1
Isso mostra que, para qualquer y diferente de 1, existe um x que faz a função valer esse y.

Passo 4

Note que ao resolver apareceu o denominador y - 1, então não podemos ter y = 1, pois isso tornaria x indefinido. Portanto, a função não atinge o valor 1 como saída.

Resposta

Domínio: R setminus a. Imagem: R setminus 1.

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