Esboce o campo de direções para a equação diferencial. Use-o para esboçar três curvas solução.
Passo 1
Resumo do enunciado: temos a EDO
. O que queremos é esboçar o campo de direções (slope field) e, a partir dele, traçar três curvas solução. Para isso vamos usar teoria de campos de direções e resolver a equação diferencial linear de 1ª ordem.
Passo 2
Para esboçar o campo de direções, note que em cada ponto
o declive é dado por
. Assim, em uma malha de pontos nós desenhamos pequenos segmentos com inclinação
. Para ajudar, podemos usar as isoclinas definidas por
, ou seja, as retas
, em que todas as direções são iguais a
.
Passo 3
Agora vamos resolver a EDO para obter as curvas exatas. Primeiro rewrite em forma padrão de equação linear:
Passo 4
O fator integrante é dado por
. Multiplicando ambos os lados da equação por
ficamos com:
$$e^{-2t}y’ - 2e^{-2t}y = te^{-2t} \quad\Longrightarrow\quad \frac{d}{dt}\bigl(y e^{-2t}\bigr)=t e^{-2t}.
$$
Passo 5
Integramos ambos os lados em relação a
. Usando integração por partes em
, obtemos
Passo 6
Voltando à expressão geral:
$$y e^{-2t} = -\Bigl(\frac t2 + \frac14\Bigr) e^{-2t} + C \quad\Longrightarrow\quad y(t) = -\frac t2 - \frac14 + Ce^{2t}.
$$
Passo 7
Para esboçar três curvas solução no campo de direções, escolha três valores de
, por exemplo
. Assim temos:
$$y_{-1}(t)=-\frac t2 - \frac14 - e^{2t},\quad y_{0}(t)=-\frac t2 - \frac14,\quad y_{1}(t)=-\frac t2 - \frac14 + e^{2t}.
$$
Passo 8
No esboço, cada uma dessas curvas segue a inclinação local indicada pelos segmentos do campo de direções e apresenta comportamento exponencial para grandes
.
Resposta
A família geral de soluções é
e três curvas particulares podem ser obtidas escolhendo, por exemplo,