Esboce o campo de direções para a equação diferencial. Use-o para esboçar três curvas solução.
y^prime=t+2 y

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a EDO y'=t+2y. O que queremos é esboçar o campo de direções (slope field) e, a partir dele, traçar três curvas solução. Para isso vamos usar teoria de campos de direções e resolver a equação diferencial linear de 1ª ordem.

Passo 2

Para esboçar o campo de direções, note que em cada ponto (t,y) o declive é dado por m = t + 2y. Assim, em uma malha de pontos nós desenhamos pequenos segmentos com inclinação t+2y. Para ajudar, podemos usar as isoclinas definidas por t+2y=k, ou seja, as retas y=-tfrac t2+tfrac k2, em que todas as direções são iguais a k.

Passo 3

Agora vamos resolver a EDO para obter as curvas exatas. Primeiro rewrite em forma padrão de equação linear:
y' - 2y = t

Passo 4

O fator integrante é dado por mu(t)=e^-2t. Multiplicando ambos os lados da equação por mu(t) ficamos com:
$$e^{-2t}y’ - 2e^{-2t}y = te^{-2t} \quad\Longrightarrow\quad \frac{d}{dt}\bigl(y e^{-2t}\bigr)=t e^{-2t}.
$$

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a t. Usando integração por partes em integral t e^-2tdt, obtemos
integral t e^-2tdt = - t2 e^-2t - 14 e^-2t + C

Passo 6

Voltando à expressão geral:
$$y e^{-2t} = -\Bigl(\frac t2 + \frac14\Bigr) e^{-2t} + C \quad\Longrightarrow\quad y(t) = -\frac t2 - \frac14 + Ce^{2t}.
$$

Passo 7

Para esboçar três curvas solução no campo de direções, escolha três valores de C, por exemplo C=-1,0,1. Assim temos:
$$y_{-1}(t)=-\frac t2 - \frac14 - e^{2t},\quad y_{0}(t)=-\frac t2 - \frac14,\quad y_{1}(t)=-\frac t2 - \frac14 + e^{2t}.
$$

Passo 8

No esboço, cada uma dessas curvas segue a inclinação local indicada pelos segmentos do campo de direções e apresenta comportamento exponencial para grandes t.

Resposta

A família geral de soluções é
y(t)=- t2-14+Ce^2t,
e três curvas particulares podem ser obtidas escolhendo, por exemplo, C=-1,0,1.

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