Obtenha a solução geral para a equação.

Passo 1

Temos a equação dydx - y - e^3x = 0. Isso é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro, escrevemos na forma-padrão dydx + P(x),y = Q(x). Aqui damos conta de que
P(x) = -1 e Q(x) = e^3x, de modo que
dydx + (-1),y = e^3x.

Passo 3

O fator integrante mu(x) é dado por mu(x) = e^integral P(x),dx = e^integral (-1),dx = e^-x.

Passo 4

Multiplicamos toda a equação por e^-x. O lado esquerdo vira a derivada do produto e^-xy:

Passo 5

Agora integramos ambos os lados em relação a x:

Passo 6

Por fim, isolamos y multiplicando por e^x:

Resposta

A solução geral é y = 12e^3x + Ce^x.

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