Uma quantia de R , 00 reais são depositados, a uma taxa anual de , 00 reais são depositados, a uma taxa anual de . Encontre a quantidade de dinheiro acumulado no final de 5 anos. Nota: Encontre a quantidade de dinheiro acumulado no final de 5 anos Nota:
é a quantidade de dinheiro em função do tempo. E o modelo neste caso seria é a quantidade de dinheiro em função do tempo E o modelo neste caso seria . Em quantos anos a quantidade inicial aplicada duplicará? Compare o resultado obtido com a fórmula de juros compostos: Em quantos anos a quantidade inicial aplicada duplicará? Compare o resu. Onde Onde é o capital inicial, i é a taxa de juros, e n é o tempo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem R$ 5.000,00 que são depositados a uma taxa anual de 5,75%. Queremos descobrir quanto de dinheiro teremos acumulado no final de 5 anos. Além disso, vamos calcular quanto tempo leva para esse valor dobrar e comparar esse resultado com a fórmula de juros compostos. Para isso, vamos usar conceitos de matemática financeira e equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação diferencial dada: dCdt = kC. Aqui, C(t) representa a quantidade de dinheiro ao longo do tempo, e k é a taxa de crescimento, que no nosso caso é 5,75% ao ano, ou seja, k = 0,0575.

Passo 3

Para resolver essa equação, vamos separar as variáveis e integrar. Isso significa que vamos reescrever a equação de forma que todos os termos com C fiquem de um lado e os termos com t do outro.
dCC = k , dt
Agora, vamos integrar ambos os lados:
integral 1C , dC = integral k , dt
A integração resulta em:
ln(C) = kt + C1
Onde C1 é a constante de integração.

Passo 4

Vamos resolver para C:
ln(C) = kt + C1
Para eliminar o logaritmo, exponenciamos ambos os lados:
C = e^kt + C1 = e^C1 cdot e^kt
Podemos escrever e^C1 como uma nova constante C0, que representa o capital inicial:
C = C0 e^kt

Passo 5

Agora, temos a fórmula para calcular a quantidade de dinheiro após um determinado tempo:
C(t) = C0 e^kt
Sabemos que C0 = 5.000, k = 0,0575 e queremos encontrar C(5):
C(5) = 5.000 cdot e^0,0575 cdot 5

Passo 6

Vamos calcular o expoente primeiro:
0,0575 cdot 5 = 0,2875
Agora, calculamos e^0,2875:
e^0,2875 approx 1,333
Então:
C(5) = 5.000 cdot 1,333 approx 6.665

Passo 7

Agora, vamos descobrir em quanto tempo o capital inicial vai dobrar. Queremos encontrar t tal que C(t) = 2C0:
2C0 = C0 e^kt
Dividindo ambos os lados por C0:
2 = e^kt
Aplicando o logaritmo natural em ambos os lados:
ln(2) = kt
Isolando t:
t = ln(2)k = 0,69310,0575 approx 12,05 anos

Passo 8

Agora, vamos comparar isso com a fórmula dos juros compostos:
C = C0(1+i)^n
Onde i = 0,0575 e queremos C = 2C0:
2 = (1 + 0,0575)^n
Aplicando o logaritmo natural:
ln(2) = n ln(1,0575)
Isolando n:
n = ln(2)ln(1,0575) approx 0,69310,0563 approx 12,3 anos

Resposta

Após 5 anos, o dinheiro acumulado será de aproximadamente R$ 6.665,00. Para duplicar o valor inicial de R$ 5.000,00, leva cerca de 12,05 anos usando a equação diferencial, e aproximadamente 12,3 anos usando a fórmula de juros compostos. Os resultados são bastante semelhantes, mostrando que ambas as abordagens são consistentes para calcular o crescimento do investimento.

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