Uma quantia de
, 00 reais são depositados, a uma taxa anual de
. Encontre a quantidade de dinheiro acumulado no final de 5 anos. Nota:
é a quantidade de dinheiro em função do tempo. E o modelo neste caso seria
. Em quantos anos a quantidade inicial aplicada duplicará? Compare o resultado obtido com a fórmula de juros compostos:
. Onde
é o capital inicial, i é a taxa de juros, e n é o tempo.
é a quantidade de dinheiro em função do tempo. E o modelo neste caso seria
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem R$ 5.000,00 que são depositados a uma taxa anual de 5,75%. Queremos descobrir quanto de dinheiro teremos acumulado no final de 5 anos. Além disso, vamos calcular quanto tempo leva para esse valor dobrar e comparar esse resultado com a fórmula de juros compostos. Para isso, vamos usar conceitos de matemática financeira e equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação diferencial dada:
. Aqui,
representa a quantidade de dinheiro ao longo do tempo, e
é a taxa de crescimento, que no nosso caso é 5,75% ao ano, ou seja,
.
Passo 3
Para resolver essa equação, vamos separar as variáveis e integrar. Isso significa que vamos reescrever a equação de forma que todos os termos com
fiquem de um lado e os termos com
do outro.
Agora, vamos integrar ambos os lados:
A integração resulta em:
Onde
é a constante de integração.
Passo 4
Vamos resolver para
:
Para eliminar o logaritmo, exponenciamos ambos os lados:
Podemos escrever
como uma nova constante
, que representa o capital inicial:
Passo 5
Agora, temos a fórmula para calcular a quantidade de dinheiro após um determinado tempo:
Sabemos que
,
e queremos encontrar
:
Passo 6
Vamos calcular o expoente primeiro:
Agora, calculamos
:
Então:
Passo 7
Agora, vamos descobrir em quanto tempo o capital inicial vai dobrar. Queremos encontrar
tal que
:
Dividindo ambos os lados por
:
Aplicando o logaritmo natural em ambos os lados:
Isolando
:
Passo 8
Agora, vamos comparar isso com a fórmula dos juros compostos:
Onde
e queremos
:
Aplicando o logaritmo natural:
Isolando
:
Resposta
Após 5 anos, o dinheiro acumulado será de aproximadamente R$ 6.665,00. Para duplicar o valor inicial de R$ 5.000,00, leva cerca de 12,05 anos usando a equação diferencial, e aproximadamente 12,3 anos usando a fórmula de juros compostos. Os resultados são bastante semelhantes, mostrando que ambas as abordagens são consistentes para calcular o crescimento do investimento.