Esboce o campo de vetores F(x, y, z) em cada um dos itens abaixo.
F(x, y)=2 x i+3 y j

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o campo vetorial F(x,y)=2x, i+3y, j. O conteúdo é campo vetorial em R^2 e vamos precisar representar, para vários pontos (x,y), o vetor (2x,3y).

Passo 2

Note que F(x,y)=(2x,3y). Isso significa que em cada ponto (x,y) do plano o vetor tem componentes proporcionalmente crescentes em x na direção i e em y na direção j.
Analise primeiro o comportamento ao longo dos eixos: ao longo do eixo x (ou seja, y=0) temos F(x,0)=(2x,0), vetores puramente horizontais cujo comprimento cresce com |x|. De modo análogo, ao longo do eixo y ( x=0) temos F(0,y)=(0,3y), vetores verticais de comprimento 3|y|.

Passo 3

Agora observe os quadrantes: em cada quadrante o vetor aponta na direção definida pelos sinais de x e y. Por exemplo, em (1,1) o vetor é (2,3) apontando para nordeste e em (-1,1) o vetor é (-2,3) apontando para noroeste, e assim por diante.

Passo 4

Para completar o esboço, escolha uma malha de pontos como (pm1,0), (0,pm1), (pm1,pm1), etc., desenhe em cada ponto o vetor correspondente e note que o comprimento do vetor cresce conforme aumentam |x| ou |y|. Isso gera um padrão radial alongado (mais esticado na direção y), com vetores maiores longe da origem.

Resposta

No esboço do campo, os vetores em cada ponto (x,y) apontam radialmente para fora (ou para dentro, se x ou y forem negativos) e têm comprimento proporcional a 2|x| na horizontal e a 3|y| na vertical. Nas interseções de uma grade, desenham-se essas setas apontando para NE no quadrante I, NW no II, SW no III e SE no IV, ficando cada vez maiores à medida que nos afastamos da origem.

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