(dag>=r) Encontre a curvatura em (x, y, z) da hélice elíptica
r(t)=a cos (t) i+b sen(t) j+c t k

Passo 1

Legal, a questão pede para achar a curvatura de uma hélice elíptica definida por r(t)=acos t,i+bsin t,j+c t,k. O conteúdo principal é curvatura de curva espacial, que usa a fórmula kappa=dfrac|r'timesr''||r'|^3. Vamos precisar de derivadas de r(t), produto vetorial e norma de vetores.

Passo 2

Vamos calcular a primeira e a segunda derivadas de r(t). Primeiro,
$$\mathbf{r}

Passo 3

(t)=(-a\sin t),\mathbf{i}+(b\cos t),\mathbf{j}+c,\mathbf{k},
$$
$$\mathbf{r}’’(t)=(-a\cos t),\mathbf{i}+(-b\sin t),\mathbf{j}+0,\mathbf{k}.
$$

Passo 4

Agora fazemos o produto vetorial r'(t)timesr''(t):
r'timesr''= i&j&k -asin t& bcos t& c -acos t& -bsin t&0 = b csin t,i-a ccos t,j+a b,k

Passo 5

Vamos achar agora as normas necessárias. Para |r'(t)|:
|r'(t)|=raiz(-asin t)^2+(bcos t)^2+c^2= raiza^2sin^2 t+b^2cos^2 t+c^2

Passo 6

E para |r'timesr''|:
|r'timesr''|=raiz(b csin t)^2+(-a ccos t)^2+(a b)^2 =raizb^2c^2sin^2 t+a^2c^2cos^2 t+a^2b^2

Passo 7

Substituindo na fórmula de curvatura obtemos em função de t:
kappa(t)= raizb^2c^2sin^2 t+a^2c^2cos^2 t+a^2b^2l(a^2sin^2 t+b^2cos^2 t+c^2r)^3/2

Passo 8

Por fim, para expressar em (x,y,z), note que x=acos t e y=bsin t. Então
b^2c^2sin^2 t=a^2c^2y^2b^2=c^2y^2,
a^2c^2cos^2 t=c^2x^2,
a^2sin^2 t+b^2cos^2 t=a^2y^2b^2+b^2x^2a^2

Passo 9

Assim chegamos à curvatura em termos de x,y,z:

Resposta

\displaystyle \kappa(x,y,z)=\frac{\sqrt{c2(x2+y2)+a2b2}}{\bigl(\frac{b2x2}{a2}+\frac{a2y2}{b2}+c2\bigr)^{3/2}}

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