Esboce o campo vetorial
dado:
;
Passo 1
O enunciado pede que se esboce o campo vetorial
dado por
Informações que o problema dá (explicitadas):
- A expressão do campo é
. - As variáveis independentes são
e .
O que precisa ser entregue: um esboço (desenho) do campo e uma explicação clara de como construí-lo passo a passo.
Passo 2
Escrever o campo nas componentes cartesianas (base padrão
):
Interpretação imediata:
- A componente horizontal (eixo
) é . Logo, não há componente horizontal — todos os vetores são puramente verticais. - A componente vertical (eixo
) é . Ou seja, a componente vertical depende só de e é igual a , independente de .
Passo 3
Entender direção e sentido dos vetores:
- Se
então : vetores apontam para cima. - Se
então : vetores apontam para baixo. - Se
então : vetor nulo (no eixo os vetores são zero).
A magnitude do vetor emé . Note que nada muda ao variar : ao longo de uma mesma reta vertical constante os vetores são iguais.
Passo 4
Como escolher pontos para desenhar (estratégia prática para prova):
- Faça um grade simples: escolha algumas abscissas representativas, por exemplo
, e algumas ordenadas (qualquer conjunto de serve porque não há dependência em ). - Calcule a cada ponto o vetor
. Exemplos:
- No desenho: em cada ponto plote uma seta vertical cujo comprimento seja proporcional a
e cujo sentido seja para cima se e para baixo se . No eixo (onde ) desenhe um ponto (vetor nulo).
Passo 5
Descrição do esboço que você deve obter (o que realmente desenhar):
- Ao longo de cada reta vertical
(com fixo) todas as setas têm o mesmo tamanho e o mesmo sentido. - À direita do eixo
( ) as setas são verticais para cima e ficam progressivamente maiores conforme aumenta (por exemplo, setas pequenas em , maiores em , ainda maiores em ). - À esquerda do eixo
( ) as setas são verticais para baixo, e ficam mais longas conforme aumenta (por exemplo, em seta para baixo de comprimento 1, em comprimento 2). - No eixo
(reta -axis) os vetores são nulos (não desenhar seta; marcar como ponto ou deixar vazio).
Dica prática: ao desenhar, escolha uma escala (por exemplo 1 unidade de comprimento de seta = 1 unidade de) para que as setas não fiquem gigantes; está tudo certo se apenas manter a proporção.
Passo 6
Informações extras úteis que ajudam a entender o comportamento (só para contexto):
- Linhas de corrente (integral curves) satisfazem o sistema
. Da primeira equação vem constante, logo as linhas de corrente são retas verticais constante; ao longo de cada linha o movimento é uniforme para cima se e para baixo se . - Divergência do campo:
então o campo é localmente incompressível (sem fontes nem sumidouros). - Rotacional (componente
em 2D): ou seja, tem rotação constante igual a .
Resposta
O campo é puramente vertical:
.\nPara
as setas são verticais para cima com magnitude
; para
são verticais para baixo com magnitude
; em
o vetor é nulo. As setas não dependem de
(iguais ao longo de cada reta vertical) e as linhas de corrente são as retas
constante.