Esboce o campo vetorial overrightarrow{\boldsymbol{F}} dado:
\overrightarrow{\boldsymbol{F}}(x, y)=x \overrightarrow{\boldsymbol{j}};

Passo 1

O enunciado pede que se esboce o campo vetorial \overrightarrow{F} dado por
\overrightarrow{F}(x,y)=x\overrightarrow{j}.
Informações que o problema dá (explicitadas):
  • A expressão do campo é \overrightarrow{F}(x,y)=x\overrightarrow{j}.
  • As variáveis independentes são x e y.
    O que precisa ser entregue: um esboço (desenho) do campo e uma explicação clara de como construí-lo passo a passo.

Passo 2

Escrever o campo nas componentes cartesianas (base padrão \overrightarrow{i},\overrightarrow{j}):
\overrightarrow{F}(x,y)=0\overrightarrow{i}+x\overrightarrow{j}.
Interpretação imediata:
  • A componente horizontal (eixo x) é F_x=0. Logo, não há componente horizontal — todos os vetores são puramente verticais.
  • A componente vertical (eixo y) é F_y=x. Ou seja, a componente vertical depende só de x e é igual a x, independente de y.

Passo 3

Entender direção e sentido dos vetores:
  • Se x>0 então F_y=x>0: vetores apontam para cima.
  • Se x<0 então F_y=x<0: vetores apontam para baixo.
  • Se x=0 então F_y=0: vetor nulo (no eixo y os vetores são zero).
    A magnitude do vetor em (x,y) é |\overrightarrow{F}|=|x|. Note que nada muda ao variar y: ao longo de uma mesma reta vertical x= constante os vetores são iguais.

Passo 4

Como escolher pontos para desenhar (estratégia prática para prova):
  • Faça um grade simples: escolha algumas abscissas representativas, por exemplo x=-2,-1,-0{,}5,0,0{,}5,1,2, e algumas ordenadas y=-1,0,1 (qualquer conjunto de y serve porque não há dependência em y).
  • Calcule a cada ponto o vetor \overrightarrow{F}(x,y)=(0,x). Exemplos: \overrightarrow{F}(1,0)=(0,1),\qquad \overrightarrow{F}(2,1)=(0,2),
\overrightarrow{F}(-1,0)=(0,-1),\qquad \overrightarrow{F}(-2,2)=(0,-2),
\overrightarrow{F}(0,0)=(0,0).
  • No desenho: em cada ponto plote uma seta vertical cujo comprimento seja proporcional a |x| e cujo sentido seja para cima se x>0 e para baixo se x<0. No eixo y (onde x=0) desenhe um ponto (vetor nulo).

Passo 5

Descrição do esboço que você deve obter (o que realmente desenhar):
  • Ao longo de cada reta vertical x=c (com c fixo) todas as setas têm o mesmo tamanho e o mesmo sentido.
  • À direita do eixo y ( x>0) as setas são verticais para cima e ficam progressivamente maiores conforme x aumenta (por exemplo, setas pequenas em x=0{,}5, maiores em x=1, ainda maiores em x=2).
  • À esquerda do eixo y ( x<0) as setas são verticais para baixo, e ficam mais longas conforme |x| aumenta (por exemplo, em x=-1 seta para baixo de comprimento 1, em x=-2 comprimento 2).
  • No eixo x=0 (reta y-axis) os vetores são nulos (não desenhar seta; marcar como ponto ou deixar vazio).
    Dica prática: ao desenhar, escolha uma escala (por exemplo 1 unidade de comprimento de seta = 1 unidade de x) para que as setas não fiquem gigantes; está tudo certo se apenas manter a proporção.

Passo 6

Informações extras úteis que ajudam a entender o comportamento (só para contexto):
  • Linhas de corrente (integral curves) satisfazem o sistema \dot{x}=0,\\ \dot{y}=x. Da primeira equação vem x(t)=x_0 constante, logo as linhas de corrente são retas verticais x= constante; ao longo de cada linha o movimento é uniforme para cima se x_0>0 e para baixo se x_0<0.
  • Divergência do campo: \nabla\cdot\overrightarrow{F}=\frac{\partial}{\partial x}(0)+\frac{\partial}{\partial y}(x)=0+0=0,então o campo é localmente incompressível (sem fontes nem sumidouros).
  • Rotacional (componente k em 2D): (\nabla\times\overrightarrow{F})\cdot\overrightarrow{k}=\frac{\partial}{\partial x}(F_y)-\frac{\partial}{\partial y}(F_x)=\frac{\partial}{\partial x}(x)-0=1,ou seja, tem rotação constante igual a 1.

Resposta

O campo é puramente vertical: \overrightarrow{F}(x,y)=0\overrightarrow{i}+x\overrightarrow{j}.\nPara x>0 as setas são verticais para cima com magnitude |x|; para x<0 são verticais para baixo com magnitude |x|; em x=0 o vetor é nulo. As setas não dependem de y (iguais ao longo de cada reta vertical) e as linhas de corrente são as retas x= constante.

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