Esboce o campo vetorial overrightarrow{\boldsymbol{F}} dado:
\overrightarrow{\boldsymbol{F}}(x, y)=(x-y) \overrightarrow{\boldsymbol{i}}+x \overrightarrow{\boldsymbol{j}}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado\n
  • Pede: esboçar (desenhar/visualizar) o campo vetorial \overrightarrow{F} no plano. Ou seja: para vários pontos (x,y) quero saber a direção e o sentido das setas de \overrightarrow{F} e como o campo se comporta globalmente. \n
  • Dados: a expressão do campo vetorial é
\overrightarrow{F}(x,y)=(x-y)\,\overrightarrow{i}+x\,\overrightarrow{j}.
Aqui, para cada ponto (x,y) do plano, a componente horizontal (i) é P(x,y)=x-y e a componente vertical (j) é Q(x,y)=x.\n
  • O objetivo prático para o esboço: escolher pontos representativos, calcular \overrightarrow{F} nesses pontos, e desenhar setas com essas componentes (possivelmente com uma escala para não ficarem enormes).

Passo 2

Como esboçar um campo vetorial — procedimento passo a passo (aula rápida e prática)\n
  1. Escolher uma grade de pontos (por exemplo (x,y) com x,y\in\{-1,0,1\} ou \{-2,-1,0,1,2\}). \n
  2. Em cada ponto calcular \overrightarrow{F}(x,y)=(P,Q)=(x-y,\;x). \n
  3. Desenhar uma seta com origem em (x,y) e direção dada pelo vetor (x-y,x). A ponta da seta fica em (x,y)+(x-y,x)=(2x-y,\,2x) se desenhar sem escala. \n
  4. Normalizar ou aplicar uma escala se as setas ficarem muito grandes: por exemplo desenhar \lambda\overrightarrow{F} com \lambda=\tfrac{1}{2} (ou outra) apenas para visualização, mantendo direção e sentido. \n
  5. Observar padrões (linhas onde o campo tem comportamento especial, pontos críticos, simetrias) para completar o esboço qualitativo.\n
    Explicando termos: “direção” é a linha ao longo da qual a seta aponta; “sentido” é para onde a seta aponta; “magnitude” é o comprimento do vetor, \|\overrightarrow{F}\|=\sqrt{(x-y)^2+x^2}.

Passo 3

Ponto(s) crítico(s) (onde a seta tem magnitude zero)\n
Resolver \overrightarrow{F}(x,y)=\boldsymbol{0}\) equivale a resolver o sistema \[\begin{cases} x-y=0,\\[4pt] x=0. \end{cases}
Da segunda equação x=0\]. Substituindo na primeira obtemos \(0-y=0\Rightarrow y=0. Logo o único ponto crítico é (0,0). No esboço isso aparece como uma seta nula (sem orientação) no ponto origem.]

Passo 4

Comportamento em linhas e eixos importantes — observe padrões que ajudam no esboço\n
  • Eixo x ( y=0): \overrightarrow{F}(x,0)=(x-0,\;x)=(x,x). Ou seja, ao longo do eixo x as setas apontam na direção da reta \{(1,1)\} (45°) com sentido para fora se x>0 e sentido oposto se x<0; magnitude \sqrt{2}|x|. \n
  • Eixo y ( x=0): \overrightarrow{F}(0,y)=(0-y,\;0)=(-y,0). Ou seja, ao longo do eixo y as setas são horizontais (para a esquerda se y>0, para a direita se y<0). \n
  • Reta y=x: \overrightarrow{F}(x,x)=(x-x,\;x)=(0,x). Ou seja, sobre a reta y=x as setas são verticais: apontam para cima se x>0, para baixo se x<0. \n
    Essas observações indicam padrões fáceis de desenhar: no quadrante onde x>0 e y pequeno, as setas tendem a ter componente vertical positiva; para x negativo a componente vertical é negativa.

Passo 5

Divergência e rotacional — interpretando o efeito local do campo\n
  • Divergência (mede se o campo “sai” ou “entra” localmente) para \overrightarrow{F}=(P,Q) é \nabla\cdot\overrightarrow{F}=\dfrac{\partial P}{\partial x}+\dfrac{\partial Q}{\partial y}. Aqui
\dfrac{\partial P}{\partial x}=\dfrac{\partial (x-y)}{\partial x}=1,\qquad \dfrac{\partial Q}{\partial y}=\dfrac{\partial x}{\partial y}=0,
logo \nabla\cdot\overrightarrow{F}=1. Interpretação: divergência constante positiva indica que o campo tem um comportamento “fontesque” (tende a espalhar), em todo ponto há um ganho local de fluxo. \n
  • Rotacional (em 2D, componente k) é \nabla\times\overrightarrow{F}=\dfrac{\partial Q}{\partial x}-\dfrac{\partial P}{\partial y}. Aqui
\dfrac{\partial Q}{\partial x}=\dfrac{\partial x}{\partial x}=1,\qquad \dfrac{\partial P}{\partial y}=\dfrac{\partial (x-y)}{\partial y}=-1,
logo \nabla\times\overrightarrow{F}=1-(-1)=2. Interpretação: rotacional constante positivo indica rotação local no sentido anti-horário; isto é, além de “sair” o campo também gira.

Passo 6

Calculando vetores em pontos de uma grade pequena — exemplos concretos para desenhar (faça exatamente isso no papel)\n
Vou calcular \overrightarrow{F}(x,y)=(x-y,\,x) para a grade (x,y)\in\{-1,0,1\}\times\{-1,0,1\}. Para cada ponto mostro cálculo e magnitude (para ajudar na escala).\n
  1. (x,y)=(-1,-1): \overrightarrow{F}(-1,-1)=(-1-(-1),\,-1)=(0,\,-1). Magnitude \sqrt{0^2+(-1)^2}=1. Setas vertical para baixo.\n
  2. (x,y)=(-1,0): \overrightarrow{F}(-1,0)=(-1-0,\,-1)=(-1,\,-1). Magnitude \sqrt{1+1}=\sqrt{2}. Direção sudeste (aponta para baixo e esquerda).\n
  3. (x,y)=(-1,1): \overrightarrow{F}(-1,1)=(-1-1,\,-1)=(-2,\,-1). Magnitude \sqrt{4+1}=\sqrt{5}. Forte componente esquerda e pequena para baixo.\n
  4. (x,y)=(0,-1): \overrightarrow{F}(0,-1)=(0-(-1),\,0)=(1,0). Magnitude 1. Setas horizontais para a direita (confere com o eixo y analisado antes).\n
  5. (x,y)=(0,0): \overrightarrow{F}(0,0)=(0,0). Magnitude 0. Ponto crítico (origem).\n
  6. (x,y)=(0,1): \overrightarrow{F}(0,1)=(0-1,\,0)=(-1,0). Magnitude 1. Setas horizontais para a esquerda.\n
  7. (x,y)=(1,-1): \overrightarrow{F}(1,-1)=(1-(-1),\,1)=(2,1). Magnitude \sqrt{4+1}=\sqrt{5}. Direção nordeste com componente direita maior.\n
  8. (x,y)=(1,0): \overrightarrow{F}(1,0)=(1-0,\,1)=(1,1). Magnitude \sqrt{2}. Aponta em 45° para cima-direita (confere com eixo x).\n
  9. (x,y)=(1,1): \overrightarrow{F}(1,1)=(1-1,\,1)=(0,1). Magnitude 1. Setas verticais para cima (confere com reta y=x).\n
    Esses nove vetores já bastam para um esboço inicial claro: ao desenhar, use setas de comprimentos proporcionais (ou aplique uma escala comum, por ex. metade do comprimento real) para visualização.

Passo 7

Como desenhar passo a passo no papel (uma receita prática)\n
  1. Trace uma grade com os pontos (x,y) escolhidos (por exemplo -1,0,1 nas duas direções). Marque cada ponto. \n
  2. Em cada ponto desenhe uma seta com direção igual a \overrightarrow{F}(x,y) calculado no passo anterior. Se a seta for (a,b) desenhe-a apontando do ponto original até um segmento proporcional a (a,b). Por exemplo use escala \lambda=\tfrac{1}{2} e desenhe até (x+\tfrac{a}{2},\,y+\tfrac{b}{2}). \n
  3. Faça as setas menores quando a magnitude for grande, por estética, mas mantenha direção e sentido. \n
  4. Depois de desenhar os pontos da grade, observe o padrão: deve aparecer rotação anti-horária (efeito do rotacional positivo) e uma tendência a “afastar” do ponto (efeito da divergência positiva). \n
  5. Acrescente algumas linhas-guia (por exemplo desenhe vetores sobre a reta y=x e nos eixos) para reforçar o padrão.\n
    Dica prática: comece desenhando os vetores com magnitude 1 (por ex. (0,1), (1,0), (1,1)) — isso facilita comparar direções — e só depois ajuste comprimentos relativos.

Passo 8

Interpretação qualitativa final para o esboço\n
  • Há um único ponto nulo em (0,0). \n
  • Em geral o campo tem comportamento de fonte combinada com rotação anti-horária (divergência =1, rotacional =2). \n
  • Sobre a reta y=x as setas são verticais; sobre o eixo x as setas apontam em 45^\circ (direção (1,1)); sobre o eixo y as setas são horizontais e apontam para a esquerda quando y>0. \n
  • Para desenhar num teste: escolha uma grade pequena, calcule os vetores como no Passo 6 e desenhe com escala. Isso garante uma boa nota porque mostra pontos representativos e o padrão global.

Resposta

( -1,-1):\\ \overrightarrow{F}(-1,-1)=(0,\,-1)
( -1,0):\\ \overrightarrow{F}(-1,0)=(-1,\,-1)
( -1,1):\\ \overrightarrow{F}(-1,1)=(-2,\,-1)
( 0,-1):\\ \overrightarrow{F}(0,-1)=(1,0)
( 0,0):\\ \overrightarrow{F}(0,0)=(0,0)
( 0,1):\\ \overrightarrow{F}(0,1)=(-1,0)
( 1,-1):\\ \overrightarrow{F}(1,-1)=(2,1)
( 1,0):\\ \overrightarrow{F}(1,0)=(1,1)
( 1,1):\\ \overrightarrow{F}(1,1)=(0,1)

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