Esboce o campo vetorial
dado:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que é dado\n
- Pede: esboçar (desenhar/visualizar) o campo vetorial
no plano. Ou seja: para vários pontos quero saber a direção e o sentido das setas de e como o campo se comporta globalmente. \n - Dados: a expressão do campo vetorial é
Aqui, para cada ponto
do plano, a componente horizontal (i) é
e a componente vertical (j) é
.\n
- O objetivo prático para o esboço: escolher pontos representativos, calcular
nesses pontos, e desenhar setas com essas componentes (possivelmente com uma escala para não ficarem enormes).
Passo 2
Como esboçar um campo vetorial — procedimento passo a passo (aula rápida e prática)\n
- Escolher uma grade de pontos (por exemplo
com ou ). \n - Em cada ponto calcular
. \n - Desenhar uma seta com origem em
e direção dada pelo vetor . A ponta da seta fica em se desenhar sem escala. \n - Normalizar ou aplicar uma escala se as setas ficarem muito grandes: por exemplo desenhar
com (ou outra) apenas para visualização, mantendo direção e sentido. \n - Observar padrões (linhas onde o campo tem comportamento especial, pontos críticos, simetrias) para completar o esboço qualitativo.\n
Explicando termos: “direção” é a linha ao longo da qual a seta aponta; “sentido” é para onde a seta aponta; “magnitude” é o comprimento do vetor,.
Passo 3
Ponto(s) crítico(s) (onde a seta tem magnitude zero)\n
Resolver
Da segunda equação
. Logo o único ponto crítico é
. No esboço isso aparece como uma seta nula (sem orientação) no ponto origem.]
Passo 4
Comportamento em linhas e eixos importantes — observe padrões que ajudam no esboço\n
- Eixo
( ): . Ou seja, ao longo do eixo as setas apontam na direção da reta (45°) com sentido para fora se e sentido oposto se ; magnitude . \n - Eixo
( ): . Ou seja, ao longo do eixo as setas são horizontais (para a esquerda se , para a direita se ). \n - Reta
: . Ou seja, sobre a reta as setas são verticais: apontam para cima se , para baixo se . \n
Essas observações indicam padrões fáceis de desenhar: no quadrante ondee pequeno, as setas tendem a ter componente vertical positiva; para negativo a componente vertical é negativa.
Passo 5
Divergência e rotacional — interpretando o efeito local do campo\n
- Divergência (mede se o campo “sai” ou “entra” localmente) para
é . Aqui
logo
. Interpretação: divergência constante positiva indica que o campo tem um comportamento “fontesque” (tende a espalhar), em todo ponto há um ganho local de fluxo. \n
- Rotacional (em 2D, componente
) é . Aqui
logo
Interpretação: rotacional constante positivo indica rotação local no sentido anti-horário; isto é, além de “sair” o campo também gira.
Passo 6
Calculando vetores em pontos de uma grade pequena — exemplos concretos para desenhar (faça exatamente isso no papel)\n
Vou calcular para a grade
. Para cada ponto mostro cálculo e magnitude (para ajudar na escala).\n
Vou calcular
-
: . Magnitude . Setas vertical para baixo.\n -
: . Magnitude . Direção sudeste (aponta para baixo e esquerda).\n -
: . Magnitude . Forte componente esquerda e pequena para baixo.\n -
: . Magnitude . Setas horizontais para a direita (confere com o eixo analisado antes).\n -
: . Magnitude . Ponto crítico (origem).\n -
: . Magnitude . Setas horizontais para a esquerda.\n -
: . Magnitude . Direção nordeste com componente direita maior.\n -
: . Magnitude . Aponta em 45° para cima-direita (confere com eixo ).\n -
: . Magnitude . Setas verticais para cima (confere com reta ).\n
Esses nove vetores já bastam para um esboço inicial claro: ao desenhar, use setas de comprimentos proporcionais (ou aplique uma escala comum, por ex. metade do comprimento real) para visualização.
Passo 7
Como desenhar passo a passo no papel (uma receita prática)\n
- Trace uma grade com os pontos
escolhidos (por exemplo nas duas direções). Marque cada ponto. \n - Em cada ponto desenhe uma seta com direção igual a
calculado no passo anterior. Se a seta for desenhe-a apontando do ponto original até um segmento proporcional a . Por exemplo use escala e desenhe até . \n - Faça as setas menores quando a magnitude for grande, por estética, mas mantenha direção e sentido. \n
- Depois de desenhar os pontos da grade, observe o padrão: deve aparecer rotação anti-horária (efeito do rotacional positivo) e uma tendência a “afastar” do ponto (efeito da divergência positiva). \n
- Acrescente algumas linhas-guia (por exemplo desenhe vetores sobre a reta
e nos eixos) para reforçar o padrão.\n
Dica prática: comece desenhando os vetores com magnitude(por ex. , , ) — isso facilita comparar direções — e só depois ajuste comprimentos relativos.
Passo 8
Interpretação qualitativa final para o esboço\n
- Há um único ponto nulo em
. \n - Em geral o campo tem comportamento de fonte combinada com rotação anti-horária (divergência
, rotacional ). \n - Sobre a reta
as setas são verticais; sobre o eixo as setas apontam em (direção ); sobre o eixo as setas são horizontais e apontam para a esquerda quando . \n - Para desenhar num teste: escolha uma grade pequena, calcule os vetores como no Passo 6 e desenhe com escala. Isso garante uma boa nota porque mostra pontos representativos e o padrão global.