Esboce os campos vetoriais dados
F(x, y)=(x / 2, y)

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o campo vetorial F(x,y) = l(tfracx2,,yr).
Conteúdo: representação gráfica de campos vetoriais em R^2.
Vamos calcular vetores em pontos de uma malha simples e inferir o padrão geral.

Passo 2

Para cada ponto (x,y) do plano, o vetor tem componente horizontal tfracx2 e componente vertical y.
No eixo x (ou seja, y=0) ficam vetores puramente horizontais de módulo l|tfracx2r|.
No eixo y (ou seja, x=0) ficam vetores puramente verticais de módulo lvert yrvert.

Passo 3

Monte uma tabela de vetores em pontos representativos:
c|c Ponto (x,y)&F(x,y)hline (0,0)&(0,0) (1,0)&l(tfrac12,0r) (-1,0)&l(-tfrac12,0r) (0,1)&(0,1) (0,-1)&(0,-1) (1,1)&l(tfrac12,1r) (-1,1)&l(-tfrac12,1r) (1,-1)&l(tfrac12,-1r)
Esses vetores já mostram que, à medida que lvert xrvert cresce, a componente horizontal cresce lentamente (fator 1/2), e a componente vertical cresce proporcionalmente a y.

Passo 4

Com base na tabela, ao esboçar:
  • No eixo x os vetores apontam para direita (se x>0) ou esquerda (se x<0), com comprimento lvert x/2rvert.
  • No eixo y os vetores apontam para cima (se y>0) ou para baixo (se y<0), com comprimento lvert yrvert.
  • Em pontos genéricos, o vetor resultante é a soma dessas componentes, gerando setas que “saem” do quadrante, mais inclinadas para cima/baixo à medida que lvert yrvert cresce, e menos inclinadas quanto maior lvert xrvert.

Passo 5

Patamar qualitativo do campo:
  • Origem é ponto crítico (vetor nulo).
  • Campo “afasta” do ponto (0,0): em direções gerais de saída, mas com expansão mais rápida ao longo de y (porque componente vertical é y, enquanto horizontal é x/2).
  • Linhas de campo seguem curvas cujas equações paramétricas são
x(t)=x0,e^t/2, y(t)=y0,e^t,
mostrando crescimento mais rápido em y.

Resposta

Desenho qualitativo do campo:
  • No eixo x vetores horizontais de comprimento tfrac12, 1, 1,5··· conforme x.
  • No eixo y vetores verticais de comprimento 1, 2, 3··· conforme y.
  • No interior dos quadrantes, vetores inclinados levemente para fora, com inclinação aumentando com y/x.
Em suma, o campo afasta do origem, comprimido no eixo x (escala 1/ 2) e esticado no eixo y (escala 1).

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