O enunciado pede para esboçar o campo vetorial .
Conteúdo: representação gráfica de campos vetoriais em .
Vamos calcular vetores em pontos de uma malha simples e inferir o padrão geral.
Passo 2
Para cada ponto do plano, o vetor tem componente horizontal e componente vertical .
No eixo (ou seja, ) ficam vetores puramente horizontais de módulo .
No eixo y (ou seja, x=0) ficam vetores puramente verticais de módulo lvert yrvert.
Passo 3
Monte uma tabela de vetores em pontos representativos:
Esses vetores já mostram que, à medida que lvert xrvert cresce, a componente horizontal cresce lentamente (fator 1/2), e a componente vertical cresce proporcionalmente a y.
Passo 4
Com base na tabela, ao esboçar:
No eixo x os vetores apontam para direita (se x>0) ou esquerda (se x<0), com comprimento lvert x/2rvert.
No eixo y os vetores apontam para cima (se y>0) ou para baixo (se y<0), com comprimento lvert yrvert.
Em pontos genéricos, o vetor resultante é a soma dessas componentes, gerando setas que “saem” do quadrante, mais inclinadas para cima/baixo à medida que lvert yrvert cresce, e menos inclinadas quanto maior lvert xrvert.
Passo 5
Patamar qualitativo do campo:
Origem é ponto crítico (vetor nulo).
Campo “afasta” do ponto (0,0): em direções gerais de saída, mas com expansão mais rápida ao longo de y (porque componente vertical é y, enquanto horizontal é x/2).
Linhas de campo seguem curvas cujas equações paramétricas são
x(t)=x0,e^t/2, y(t)=y0,e^t,
mostrando crescimento mais rápido em y.
Resposta
Desenho qualitativo do campo:
No eixo x vetores horizontais de comprimento tfrac12, 1, 1,5··· conforme x.
No eixo y vetores verticais de comprimento 1, 2, 3··· conforme y.
No interior dos quadrantes, vetores inclinados levemente para fora, com inclinação aumentando com y/x.
Em suma, o campo afasta do origem, comprimido no eixo x (escala 1/2) e esticado no eixo y (escala 1).