Se W é um sólido não homogêneo com densidade em cada ponto dada por w=f(x, y, z), a massa de W é definida por:
MW=integral triplaW f(x, y, z) d x d y d z
As coordenadas do centro de massa do sólido W são definidas por:
barx=integral triplaW x f(x, y, z) d x d y d zMW, bary=integral triplaW y f(x, y, z) d x d y d zMW
e barz=integral triplaW z f(x, y, z) d x d y d zMW
Calcule o centro de massa do sólido limitado por z^2=x y, x=5, y=5 e z=0 se a densidade é f(x, y, z)=1

Passo 1

O enunciado pede o centro de massa de um sólido W definido por
0 <= x <= 5, 0 <= y <= 5, 0 <= z <= raizxy,
com densidade f(x,y,z)=1.
Para densidade constante, a massa e as coordenadas do centro de massa são dadas por
M=integral triplaW dV, bar x=1Mintegral triplaW x,dV, bar y=1Mintegral triplaW y,dV, bar z=1Mintegral triplaW z,dV

Passo 2

Calcular a massa
M=integralx=0^5integraly=0^5integralz=0^raizxy1,dz,dy,dx =integral0^5integral0^5raizxy;dy,dx
Como raizxy=x^1/2y^1/2 e a integral se separa,
M =l(integral0^5x^1/2dxr)l(integral0^5y^1/2dyr) =l[tfrac235^3/2r]^2 =49,5^3 =5009

Passo 3

Calcular bar x. Primeiro o momento em x:
integral triplaW x,dV =integral0^5integral0^5integral0^raizxyx,dz,dy,dx =integral0^5integral0^5x,raizxy;dy,dx =integral0^5integral0^5x^3/2y^1/2;dy,dx
Separando e integrando,
integral triplaW x,dV =l(integral0^5x^3/2dxr)l(integral0^5y^1/2dyr) =l[tfrac255^5/2r];l[tfrac235^3/2r] =415,5^4 =5003
Logo
bar x =integral triplaW x,dVM =tfrac5003tfrac5009 =3

Passo 4

Por simetria do domínio em x e y, tem-se imediatamente
bar y = bar x = 3

Passo 5

Calcular bar z. Primeiro o momento em z:
integral triplaW z,dV =integral0^5integral0^5integral0^raizxyz,dz,dy,dx =integral0^5integral0^512l(raizxyr)^2 dy,dx =12integral0^5integral0^5xy;dy,dx
Como integral0^5x,dx=integral0^5y,dy=25/2,
integral triplaW z,dV =12l(252r)^2 =6258
Então
bar z =tfrac6258tfrac5009 =6258cdot9500 =4532approx1,40625

Resposta

O centro de massa é
(bar x,bar y,bar z) = l(3,;3,;tfrac4532r)

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