Se W é um sólido não homogêneo com densidade em cada ponto dada por w=f(x, y, z), a massa de W é definida por:
MW=integral triplaW f(x, y, z) d x d y d z
As coordenadas do centro de massa do sólido W são definidas por:
barx=integral triplaW x f(x, y, z) d x d y d zMW, bary=integral triplaW y f(x, y, z) d x d y d zMW
e barz=integral triplaW z f(x, y, z) d x d y d zMW
Calcule o centro de massa do sólido limitado pela esfera x^2+y^2+z^2=a^2 e situado acima do plano z=0, sabendo que a densidade em cada ponto é proporcional á distância do ponto ao centro da esfera.

Passo 1

O enunciado pede o centro de massa de um hemisfério de raio a (a parte da esfera x^2+y^2+z^2=a^2 acima do plano z=0) cuja densidade em cada ponto é proporcional à distância ao centro. Isto significa que
f(x,y,z)=lambdaraizx^2+y^2+z^2,
onde lambda é uma constante. Vamos usar coordenadas esféricas (r,varphi,theta) com
x=rsinvarphicostheta, y=rsinvarphisintheta, z=rcosvarphi,
o volume elementar
,dV=r^2sinvarphi,dr,dvarphi,dtheta,
e os limites 0<= r<= a, 0<=varphi<=pi/2, 0<=theta<=2pi.

Passo 2

Calculamos a massa total
MW=integral triplaW f,dV =lambdaintegral0^2pi!integral0^pi/2!integral0^a l(rr),r^2sinvarphi,dr,dvarphi,dtheta
Agrupando,
MW =lambdal(integral0^2pidthetar) l(integral0^pi/2sinvarphi,dvarphir) l(integral0^ar^3,drr)
Sabendo que integral0^2pidtheta=2pi, integral0^pi/2sinvarphi,dvarphi=1 e integral0^ar^3,dr=a^4/4, segue
MW=lambdacdot2picdot1cdota^44 =lambdapi a^42

Passo 3

O momento em z é
integral triplaW z,f,dV =lambdaintegral0^2pi!integral0^pi/2!integral0^a l(rcosvarphir),r^2sinvarphi,r,dr,dvarphi,dtheta
pois z=rcosvarphi e f=lambda r. Reagrupando,
integral triplaW z,f,dV =lambdal(integral0^2pidthetar) l(integral0^pi/2cosvarphisinvarphi,dvarphir) l(integral0^ar^4,drr)
Temos integral0^2pidtheta=2pi, integral0^pi/2cosvarphisinvarphi,dvarphi=1/2 e integral0^ar^4,dr=a^5/5, logo
integral triplaW z,f,dV =lambdacdot2picdot12cdota^55 =lambdapi a^55

Passo 4

O centro de massa em z é
bar z =integral triplaW z,f,dVMW =lambdapi a^55lambdapi a^42 =a5cdot21 =2a5
Por simetria em x e y, temos bar x=bar y=0.

Resposta

(bar x,bar y,bar z)=l(0,,0,,2a5r)

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