Se
é um sólido não homogêneo com densidade em cada ponto dada por
, a massa de
é definida por:
As coordenadas do centro de massa do sólido
são definidas por:
e
Calcule o centro de massa do sólido limitado pela esfera
e situado acima do plano
, sabendo que a densidade em cada ponto é proporcional á distância do ponto ao centro da esfera.
Passo 1
O enunciado pede o centro de massa de um hemisfério de raio
(a parte da esfera
acima do plano
) cuja densidade em cada ponto é proporcional à distância ao centro. Isto significa que
onde
é uma constante. Vamos usar coordenadas esféricas
com
o volume elementar
,
e os limites ,
,
.
e os limites
Passo 2
Calculamos a massa total
Agrupando,
Sabendo que
,
e
, segue
Passo 3
O momento em
é
pois
e
. Reagrupando,
Temos
,
e
, logo
Passo 4
O centro de massa em
é
Por simetria em
e
, temos
.