Esboce os campos vetoriais a seguir.
(a) F(x, y)=x^2 i+y^2 j;

Passo 1

A questão pede o esboço do campo vetorial definido por F(x,y)=x^2,vec i + y^2,vec j. O conteúdo aqui é esboço de campo vetorial em R^2, e vamos precisar calcular vetores em pontos estratégicos, analisar direção e módulo para montar o desenho.

Passo 2

Começamos avaliando em pontos simples: em (0,0) temos F(0,0)=(0,0), ou seja, vetor nulo na origem. No eixo x ( y=0) surge F(x,0)=(x^2,0), vetores puramente horizontais para a direita com comprimento |x|^2. No eixo y ( x=0) surge F(0,y)=(0,y^2), vetores puramente verticais para cima com comprimento |y|^2.

Passo 3

Para um ponto genérico (x,y), ambas as componentes x^2 e y^2 são sempre não negativas. Logo, em qualquer quadrante o vetor aponta para nordeste, formando um ângulo agudo com o eixo x.

Passo 4

O módulo de cada vetor é raizx^4 + y^4, que cresce conforme |x| ou |y| aumentam. Isso significa que, no esboço, os vetores serão pequenos perto da origem e dos eixos, e ficarão progressivamente maiores à medida que nos afastamos dos eixos.

Passo 5

Com essas informações, basta desenhar uma malha de pontos e em cada ponto traçar um vetor apontando para nordeste, com tamanho proporcional a raizx^4+y^4.

Resposta

O esboço mostra vetores em todos os pontos apontando para nordeste (componentes positivas), com magnitude zero na origem, vetores horizontais para a direita no eixo x, verticais para cima no eixo y, e comprimentos que aumentam quadraticamente à medida que |x| ou |y| aumentam.

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