Exercício 4 Determine o domínio de cada função.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar o domínio da função g(x)=ln\bigl((x+d_{8})/(x-1)+d_{7}\bigr). O conteúdo envolvido é função logarítmica, e vamos precisar usar as condições: (i) o argumento do ln tem de ser >0 e (ii) não podemos dividir por zero.
Passo 2
Primeiro, exigimos que o denominador seja não nulo: x–1≠0, ou seja, x≠1.
Em seguida, impomos que o argumento do ln seja positivo:
Em seguida, impomos que o argumento do ln seja positivo:
Passo 3
Colocando tudo sobre um único denominador:
Passo 4
Simplificando o numerador:
Passo 5
Definimos o zero do numerador como
e o zero do denominador em x=1. Agora fazemos análise de sinais de
Passo 6
Caso 1: d_{7}≠-1. Temos dois pontos críticos: x=1 e x=x_{0}. O sinal da fração muda nesses pontos, e conclui-se que o domínio é dado por
Passo 7
Caso 2: d_{7}=-1. Nesse caso o numerador vira constante d_{8}+1, e a desigualdade fica
Passo 8
Se d_{8}+1>0 então x-1>0⇒x>1. Se d_{8}+1<0 então x-1<0⇒x<1. Se d_{8}=-1 não há ponto em que o ln seja definido.
Portanto, reunindo tudo, o domínio é dado pelos casos acima, dependendo de d_{7} e d_{8}.
Portanto, reunindo tudo, o domínio é dado pelos casos acima, dependendo de d_{7} e d_{8}.
Resposta
Para d_{7}≠-1: definindo x_{0}=(d_{7}-d_{8})/(1+d_{7}),
D(g) = ( -∞, min{1,x_{0}} ) ∪ ( max{1,x_{0}}, ∞ ).
D(g) = ( -∞, min{1,x_{0}} ) ∪ ( max{1,x_{0}}, ∞ ).
Para d_{7}=-1: se d_{8}+1>0 então D(g)=(1,∞); se d_{8}+1<0 então D(g)=(-∞,1); se d_{8}=-1 então D(g)=∅.