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Dê exemplos de funções
e
tais que:
(a)
e
.
Dê exemplos de funções
(a)
Passo 1
O enunciado pede exemplos de funções f e g tais que quando x→0 temos ambos lim
f(x)=+∞ e lim
g(x)=+∞, mas ao mesmo tempo lim
[f(x)/g(x)]=0. Isso envolve limite de funções que divergem para +∞ e compará-las.
f(x)=+∞ e lim
g(x)=+∞, mas ao mesmo tempo lim
[f(x)/g(x)]=0. Isso envolve limite de funções que divergem para +∞ e compará-las.
Passo 2
Uma ideia comum é usar potências negativas de x. Sabemos que, para p>0, a função f(x)=1/x^p diverge para +∞ quando x→0⁺, e quanto maior p, mais rápido diverge.
Passo 3
Vamos então escolher f(x)=1/x^1 e g(x)=1/x^2, isto é, p=1 e q=2.
Passo 4
Para verificar, calculemos lim
_{x→0⁺} f(x). Temos f(x)=1/x, logo
_{x→0⁺} f(x). Temos f(x)=1/x, logo
Passo 5
De modo semelhante, para g(x):
Passo 6
Agora o quociente f/g é
Passo 7
Portanto
Resposta
Por exemplo, f(x)=1/x e g(x)=1/x^2 satisfazem as condições do enunciado.