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Dê exemplos de funções f e g tais que:
(a) lim x 0 f(x)=+infty, lim x 0 g(x)=+infty e lim x 0 f(x)g(x)=0.

Passo 1

O enunciado pede exemplos de funções f e g tais que quando x→0 temos ambos lim
f(x)=+∞ e lim
g(x)=+∞, mas ao mesmo tempo lim
[f(x)/g(x)]=0. Isso envolve limite de funções que divergem para +∞ e compará-las.

Passo 2

Uma ideia comum é usar potências negativas de x. Sabemos que, para p>0, a função f(x)=1/x^p diverge para +∞ quando x→0⁺, e quanto maior p, mais rápido diverge.

Passo 3

Vamos então escolher f(x)=1/x^1 e g(x)=1/x^2, isto é, p=1 e q=2.

Passo 4

Para verificar, calculemos lim
_{x→0⁺} f(x). Temos f(x)=1/x, logo
limxto0^+1x=+infty

Passo 5

De modo semelhante, para g(x):
limxto0^+1x^2=+infty

Passo 6

Agora o quociente f/g é
f(x)g(x)=1/x1/x^2=x

Passo 7

Portanto
limxto0^+f(x)g(x)=limxto0^+x=0

Resposta

Por exemplo, f(x)=1/x e g(x)=1/x^2 satisfazem as condições do enunciado.

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