Resolva as EDOs:
d yd x+5 x^4 y=x^4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) que é assim:
dydx + 5x^4 y = x^4
Primeiro, precisamos entender do que a gente vai precisar para resolver isso. Essa é uma EDO do primeiro grau, linear, onde a gente pode usar um método chamado “fator integrante” para encontrar a solução. Então, vamos usar esse método passo a passo.

Passo 2

A equação está na forma padrão de uma EDO linear:
dydx + P(x) y = Q(x)
Aqui, $ P(x) = 5x^{4} $ e $ Q(x) = x^{4} $. O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é uma função que vai ajudar a simplificar a equação para que possamos resolver para $ y $.

Passo 3

Para encontrar o fator integrante $ \mu(x) $, usamos a fórmula:
mu(x)
Substituindo $ P(x) $:
mu(x) = e^integral P(x) dx
Então, o fator integrante é $ e{x{5}} $.

Passo 4

Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
e^x^5 cdot dydx + 5x^4 e^x^5 y = x^4 e^x^5
Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada de $ y \cdot e{x{5}} $. Isso simplifica a equação para:
y cdot e^x^5

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a $ x $:
x
A integral do lado esquerdo é simplesmente $ y \cdot e{x{5}} $. Para resolver a integral do lado direito, fazemos uma substituição:
Seja $ u = x^{5} $, então $ du = 5x^{4} dx $ ou $ x^{4} dx = \frac{du}{5} $.
Portanto:
integral ddx ( y cdot e^x^5 ) dx = integral x^4 e^x^5 dx
Então, temos:
y cdot e^x^5

Resposta

Resolvendo para $ y $, temos:
y
Onde $ C $ é a constante de integração.

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