Uma garrafa de água que estava em uma geladeira a
é levada para fora, onde a temperatura é de
. Após 1 minuto, a água possui uma temperatura de
. Pela Lei de Resfriamento/Aquecimento de Newton, a temperatura
em função do tempo satisfaz a EDO
para algum
, onde
é a temperatura ambiente.
Qual será a temperatura após 2 minutos?
Qual será a temperatura após 2 minutos?
Passo 1
O exercício pede a temperatura da água após 2 minutos, usando a lei de Newton do resfriamento/aquecimento, que gera a EDO de primeira ordem
. Aqui
e sabemos
e
.
Passo 2
Vamos resolver a EDO por separação de variáveis. Primeiro escrevemos
$$\frac{dT}{dt}=k\bigl(T-T_a\bigr)\quad\Longrightarrow\quad
\frac{dT}{T-T_a}=k,dt$$
Passo 3
Integrando ambos os lados, obtemos
Passo 4
e exponenciando, temos a solução geral
$$
T(t)=T_a+C e^{kt}$$
onde definimos .
onde definimos
Passo 5
Agora usamos a condição inicial
para achar
:
logo
Passo 6
Em seguida usamos
para encontrar
:
Passo 7
Finalmente, calculamos
:
Resposta
9°C