Uma garrafa de água que estava em uma geladeira a 0^circ C é levada para fora, onde a temperatura é de 25^circ C. Após 1 minuto, a água possui uma temperatura de 5^circ C. Pela Lei de Resfriamento/Aquecimento de Newton, a temperatura T(t) em função do tempo satisfaz a EDO T^prime=k(T-Ta) para algum k in R, onde Ta é a temperatura ambiente.
Qual será a temperatura após 2 minutos?

Passo 1

O exercício pede a temperatura da água após 2 minutos, usando a lei de Newton do resfriamento/aquecimento, que gera a EDO de primeira ordem T'=kl(T-Tar). Aqui Ta=25^circ C e sabemos T(0)=0^circ C e T(1)=5^circ C.

Passo 2

Vamos resolver a EDO por separação de variáveis. Primeiro escrevemos
$$\frac{dT}{dt}=k\bigl(T-T_a\bigr)\quad\Longrightarrow\quad
\frac{dT}{T-T_a}=k,dt$$

Passo 3

Integrando ambos os lados, obtemos
ln|T-Ta|=kt+C1

Passo 4

e exponenciando, temos a solução geral
$$
T(t)=T_a+C e^{kt}$$
onde definimos T(t)=Ta+C e^kt.

Passo 5

Agora usamos a condição inicial T(0)=0^circ C para achar C:
0=Ta+C e^kcdot0=25+C
logo
C=-25

Passo 6

Em seguida usamos T(1)=5^circ C para encontrar k:
5=25-25e^kLongrightarrow 25e^k=20Longrightarrow e^k=45Longrightarrow k=lnl(tfrac45r)

Passo 7

Finalmente, calculamos T(2):
T(2)=25-25e^2k=25-25l(e^kr)^2 =25-25l(tfrac45r)^2=25-25cdottfrac1625=25-16=9

Resposta

9°C

Exercícios relacionados