Esboce o conjunto
do plano
dada abaixo e determine sua fronteira. Classifique
em: aberto, fechado, limitado, compacto, ou conexo.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o conjunto
, determinar sua fronteira e classificar
(aberto, fechado, limitado, compacto, conexo). O conteúdo envolve análise de inequações, fatoração de expressões e noções básicas de topologia em
.
Passo 2
A condição
significa que os fatores
e
têm sinais opostos. Logo há dois casos: (i)
e
; (ii)
e
.
Passo 3
No caso (ii), temos
e
. Isso descreve a parte superior (
) do disco aberto de raio 1 centrado na origem.
Passo 4
No caso (i), temos
e
. Isso descreve a parte inferior (
) do complemento do disco de raio 1, ou seja, a região exterior ao círculo, abaixo do eixo, também aberta e não limitada.
Passo 5
Para esboçar, desenhe o círculo
e o eixo
. A região
é o semicírculo interno acima do eixo (dentro do círculo) e a região externa ao círculo abaixo do eixo.
Passo 6
A fronteira
são todos os pontos onde
, ou seja, a união do eixo
com o círculo
.
Passo 7
Como a desigualdade é estrita,
é aberto. Não é fechado, pois não contém sua fronteira; também não é limitado (existe parte que vai ao infinito), logo não é compacto. Além disso,
se separa em duas componentes disjuntas (interna acima e externa abaixo), sendo não conexo.
Resposta
A fronteira de
é
.
O conjunto é aberto, não fechado, não limitado, não compacto e não conexo.
O conjunto