Esboce o conjunto R do plano R^2 dada abaixo e determine sua fronteira. Classifique R em: aberto, fechado, limitado, compacto, ou conexo.
R=(x, y) in R^2 ;(x^2+y^2-1) y<0

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o conjunto R=(x,y)inR^2:,(x^2+y^2-1),y<0, determinar sua fronteira e classificar R (aberto, fechado, limitado, compacto, conexo). O conteúdo envolve análise de inequações, fatoração de expressões e noções básicas de topologia em R^2.

Passo 2

A condição (x^2+y^2-1),y<0 significa que os fatores x^2+y^2-1 e y têm sinais opostos. Logo há dois casos: (i) x^2+y^2-1>0 e y<0; (ii) x^2+y^2-1<0 e y>0.

Passo 3

No caso (ii), temos x^2+y^2<1 e y>0. Isso descreve a parte superior ( y>0) do disco aberto de raio 1 centrado na origem.

Passo 4

No caso (i), temos x^2+y^2>1 e y<0. Isso descreve a parte inferior ( y<0) do complemento do disco de raio 1, ou seja, a região exterior ao círculo, abaixo do eixo, também aberta e não limitada.

Passo 5

Para esboçar, desenhe o círculo x^2+y^2=1 e o eixo y=0. A região R é o semicírculo interno acima do eixo (dentro do círculo) e a região externa ao círculo abaixo do eixo.

Passo 6

A fronteira partialR são todos os pontos onde (x^2+y^2-1),y=0, ou seja, a união do eixo y=0 com o círculo x^2+y^2=1.

Passo 7

Como a desigualdade é estrita, R é aberto. Não é fechado, pois não contém sua fronteira; também não é limitado (existe parte que vai ao infinito), logo não é compacto. Além disso, R se separa em duas componentes disjuntas (interna acima e externa abaixo), sendo não conexo.

Resposta

A fronteira de R é
(x,y)inR^2:y=0cup(x,y)inR^2:x^2+y^2=1.
O conjunto R é aberto, não fechado, não limitado, não compacto e não conexo.

Exercícios relacionados