Esboce o conjunto
do plano
dada abaixo e determine sua fronteira. Classifique
em: aberto, fechado, limitado, compacto, ou conexo.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o conjunto
, determinar sua fronteira e classificá-lo (aberto, fechado, limitado, compacto, conexo). Vamos usar gráficos de funções trigonométricas, noções de fronteira e critérios topológicos de conjuntos em
.
Passo 2
Em
vale
. Assim, para cada
nessa faixa, os pontos
com
formam uma faixa entre as curvas
com extremidades em
Passo 3
A fronteira é dada pelos pontos onde alguma desigualdade vira igualdade, ou seja:
Passo 4
Para a classificação: as desigualdades são não estritas num intervalo fechado, então
é fechado. Como
e
, é limitado. Pelo teorema de Heine-Borel em
, é compacto. E por ser uma faixa contínua entre duas curvas num intervalo, é conexo.
Resposta
A fronteira de
é
O conjunto
é fechado, limitado, compacto e conexo.