Esboce o conjunto R do plano R^2 dada abaixo e determine sua fronteira. Classifique R em: aberto, fechado, limitado, compacto, ou conexo.
R=(x, y) in R^2 ; sen x <= y <= cos x, 0 <= x <= pi / 4

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o conjunto R=(x,y)inR^2:sin x<= y<=cos x,;0<= x<=pi/4, determinar sua fronteira e classificá-lo (aberto, fechado, limitado, compacto, conexo). Vamos usar gráficos de funções trigonométricas, noções de fronteira e critérios topológicos de conjuntos em R^2.

Passo 2

Em [0,pi/4] vale sin x<=cos x. Assim, para cada x nessa faixa, os pontos (x,y) com sin x<= y<=cos x formam uma faixa entre as curvas
y=sin xe y=cos x,,
com extremidades em x=0, onde sin0=0 e cos0=1, e em x=pi/4, onde sin(pi/4)=cos(pi/4)=tfracraiz22. Esse é o esboço de R.

Passo 3

A fronteira é dada pelos pontos onde alguma desigualdade vira igualdade, ou seja:
partialR= (x,y):0<= x<=pi/4,;y=sin x; cup;(x,y):0<= x<=pi/4,;y=cos x;cup; (0,y):0<= y<=1;cup; (pi/4,tfracraiz22)

Passo 4

Para a classificação: as desigualdades são não estritas num intervalo fechado, então R é fechado. Como 0<= x<=pi/4 e 0<= y<=1, é limitado. Pelo teorema de Heine-Borel em R^2, é compacto. E por ser uma faixa contínua entre duas curvas num intervalo, é conexo.

Resposta

A fronteira de R é
partialR= (x,y):0<= x<=pi/4,;y=sin x; cup;(x,y):0<= x<=pi/4,;y=cos x;cup; (0,y):0<= y<=1;cup; (pi/4,tfracraiz22)
O conjunto R é fechado, limitado, compacto e conexo.

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