Esboce o conjunto
do plano
dada abaixo e determine sua fronteira. Classifique
em: aberto, fechado, limitado, compacto, ou conexo.
Passo 1
O enunciado pede para desenhar o conjunto
, achar sua fronteira e verificar se é aberto, fechado, limitado, compacto e/ou conexo. Vamos usar conceitos de curvas do segundo grau (hipérboles) e definições topológicas básicas.
Passo 2
A equação
é uma hipérbole com dois ramos ao longo do eixo
e assíntotas
. Para esboçar, primeiro desenho esses dois ramos e as retas assíntotas.
Passo 3
Para entender qual parte do plano satisfaz
, basta notar que a desigualdade segura as regiões “para fora” dos ramos da hipérbole, ou seja, os pontos com
ou
situados fora dos dois ramos. Todo ponto sobre
também pertence a
.
Passo 4
A fronteira de
é justamente a curva onde muda de dentro para fora, isto é,
Passo 5
Como
inclui sua fronteira, ele é fechado. Não é aberto porque pontos na fronteira não têm bola inteira contida em
. É ilimitado pois estende-se ao infinito ao longo dos ramos. Logo não é compacto (compacto exige fechado e limitado).
Passo 6
Para ver se é conexo, note que há duas regiões separadas (uma com
e outra com
) sem ligação entre si. Portanto
não é conexo.
Resposta
Fronteira:
. O conjunto é fechado, não é aberto, não é limitado, não é compacto e não é conexo.