Esboce o conjunto R do plano R^2 dada abaixo e determine sua fronteira. Classifique R em: aberto, fechado, limitado, compacto, ou conexo.
R=(x, y) in R^2 ; 1 <= x^2-y^2

Passo 1

O enunciado pede para desenhar o conjunto R=(x,y)inR^2:;x^2-y^2>=1, achar sua fronteira e verificar se é aberto, fechado, limitado, compacto e/ou conexo. Vamos usar conceitos de curvas do segundo grau (hipérboles) e definições topológicas básicas.

Passo 2

A equação x^2-y^2=1 é uma hipérbole com dois ramos ao longo do eixo x e assíntotas y=pm x. Para esboçar, primeiro desenho esses dois ramos e as retas assíntotas.

Passo 3

Para entender qual parte do plano satisfaz x^2-y^2>=1, basta notar que a desigualdade segura as regiões “para fora” dos ramos da hipérbole, ou seja, os pontos com x>=1 ou x<=-1 situados fora dos dois ramos. Todo ponto sobre x^2-y^2=1 também pertence a R.

Passo 4

A fronteira de R é justamente a curva onde muda de dentro para fora, isto é,
partialR=(x,y)inR^2:;x^2-y^2=1

Passo 5

Como R inclui sua fronteira, ele é fechado. Não é aberto porque pontos na fronteira não têm bola inteira contida em R. É ilimitado pois estende-se ao infinito ao longo dos ramos. Logo não é compacto (compacto exige fechado e limitado).

Passo 6

Para ver se é conexo, note que há duas regiões separadas (uma com x>=1 e outra com x<=-1) sem ligação entre si. Portanto R não é conexo.

Resposta

Fronteira: (x,y):x^2-y^2=1. O conjunto é fechado, não é aberto, não é limitado, não é compacto e não é conexo.

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