Esboce o conjunto R do plano R^2 dada abaixo e determine sua fronteira. Classifique R em: aberto, fechado, limitado, compacto, ou conexo.
R=(x, y) in R^2 ; 4 x^2+y^2 >= 9

Passo 1

O conjunto dado é R=(x,y)inR^2;;4x^2+y^2>=9. O conteúdo aqui é estudo de regiões definidas por curvas quadráticas em R^2, e vamos usar conceitos de elipse, interior, fechamento, fronteira, conexidade e compacidade.

Passo 2

A curva 4x^2+y^2=9 é uma elipse centrada na origem com semi-eixos a=tfrac32 no eixo x e b=3 no eixo y. Como temos 4x^2+y^2>=9, a região R é justamente o exterior dessa elipse, incluindo sua fronteira.

Passo 3

Para achar a fronteira de R usamos a definição: é o conjunto de pontos em que toda vizinhança intercepta tanto R quanto o seu complemento. Na prática, como R é definido por 4x^2+y^2>=9, a fronteira é onde vale a igualdade
4x^2+y^2=9

Passo 4

Classificação de R:
  • Fechado: é o pré-imagem do intervalo fechado [9,infty) por uma função contínua.
  • Não aberto: contém sua fronteira.
  • Ilimitado: o exterior da elipse se estende até o infinito.
  • Não compacto: não é limitado.
  • Conexo: o exterior de uma elipse em R^2 é uma região só, portanto é conexo.

Resposta

Fronteira: (x,y):4x^2+y^2=9. O conjunto R é fechado, não aberto, não limitado, não compacto e conexo.

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