Esboce o conjunto
do plano
dada abaixo e determine sua fronteira. Classifique
em: aberto, fechado, limitado, compacto, ou conexo.
Passo 1
O conjunto dado é
. O conteúdo aqui é estudo de regiões definidas por curvas quadráticas em
, e vamos usar conceitos de elipse, interior, fechamento, fronteira, conexidade e compacidade.
Passo 2
A curva
é uma elipse centrada na origem com semi-eixos
no eixo
e
no eixo
. Como temos
, a região
é justamente o exterior dessa elipse, incluindo sua fronteira.
Passo 3
Para achar a fronteira de
usamos a definição: é o conjunto de pontos em que toda vizinhança intercepta tanto
quanto o seu complemento. Na prática, como
é definido por
, a fronteira é onde vale a igualdade
Passo 4
Classificação de
:
- Fechado: é o pré-imagem do intervalo fechado
por uma função contínua. - Não aberto: contém sua fronteira.
- Ilimitado: o exterior da elipse se estende até o infinito.
- Não compacto: não é limitado.
- Conexo: o exterior de uma elipse em
é uma região só, portanto é conexo.
Resposta
Fronteira:
. O conjunto
é fechado, não aberto, não limitado, não compacto e conexo.