Esboce o conjunto
do plano
dada abaixo e determine sua fronteira. Classifique
em: aberto, fechado, limitado, compacto, ou conexo.
Passo 1
Temos a região
. O tema é topologia elementar no plano: fazer o esboço de
, achar sua fronteira e classificar o conjunto em termos de aberto, fechado, limitado, compacto e conexo.
Passo 2
Reescrevendo a desigualdade de forma mais clara, usamos álgebra de valores absolutos. Observamos que
Isso facilita entender onde ficam os pontos de
.
Passo 3
A condição
significa que ou
ou
. Em termos de união de conjuntos, temos
Geometricamente, são dois “cones” abertos no plano: um acima da reta
e
, e outro simetricamente abaixo.
Passo 4
Para achar a fronteira de
, lembramos que são os pontos em que todo entorno intersecta
e também seu complemento. Isso ocorre exatamente quando
ou seja, sobre as retas
e
.
Passo 5
Agora, classificando
:
- Aberto: sim, pois a condição é estrita (
). - Fechado: não, pois não inclui os pontos onde
. - Limitado: não, estende-se até o infinito.
- Compacto: não, já que não é fechado nem limitado.
- Conexo: não, pois é união de dois conjuntos abertos disjuntos.
Resposta
A fronteira de
é o conjunto
, ou seja, as retas
e
. O conjunto
é aberto, não é fechado, não é limitado, não é compacto e não é conexo.