Esboce o conjunto R do plano R^2 dada abaixo e determine sua fronteira. Classifique R em: aberto, fechado, limitado, compacto, ou conexo.
R=(x, y) in R^2 ; x^2

Passo 1

Temos a região R=(x,y)inR^2;;x^2. O tema é topologia elementar no plano: fazer o esboço de R, achar sua fronteira e classificar o conjunto em termos de aberto, fechado, limitado, compacto e conexo.

Passo 2

Reescrevendo a desigualdade de forma mais clara, usamos álgebra de valores absolutos. Observamos que
x^2
Isso facilita entender onde ficam os pontos de R.

Passo 3

A condição |x|<|y| significa que ou y>|x| ou y<-|x|. Em termos de união de conjuntos, temos
R=(x,y):y>|x|;cup;(x,y):y<-|x|
Geometricamente, são dois “cones” abertos no plano: um acima da reta y=x e y=-x, e outro simetricamente abaixo.

Passo 4

Para achar a fronteira de R, lembramos que são os pontos em que todo entorno intersecta R e também seu complemento. Isso ocorre exatamente quando
x^2=y^2,
ou seja, sobre as retas y=x e y=-x.

Passo 5

Agora, classificando R:
  • Aberto: sim, pois a condição é estrita ( <).
  • Fechado: não, pois não inclui os pontos onde x^2=y^2.
  • Limitado: não, estende-se até o infinito.
  • Compacto: não, já que não é fechado nem limitado.
  • Conexo: não, pois é união de dois conjuntos abertos disjuntos.

Resposta

A fronteira de R é o conjunto (x,y):x^2=y^2, ou seja, as retas y=x e y=-x. O conjunto R é aberto, não é fechado, não é limitado, não é compacto e não é conexo.

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