Esboce o conjunto
do plano
dada abaixo e determine sua fronteira. Classifique
em: aberto, fechado, limitado, compacto, ou conexo.
e
Passo 1
O enunciado pede para trabalhar com o conjunto
definido por duas condições simultâneas:
e
. O conteúdo é topologia em
: vamos usar definições de conjunto aberto, fechado, fronteira, limite, conexidade e compacidade.
Passo 2
Primeiro, entenda cada condição separadamente. A desigualdade
descreve o losango (ou diamante) fechado com vértices em
e
. A condição
é o exterior aberto do círculo de raio 1 centrado na origem. O conjunto
é a interseção desses dois: o interior do losango (incluindo suas arestas) de onde tiramos o disco fechado de raio 1.
Passo 3
Para esboçar, desenhe primeiro o losango
, depois o círculo
. A região
fica entre essas duas fronteiras: pontos dentro ou sobre o losango, mas sempre fora do disco de raio 1 (excluindo o círculo interior).
Passo 4
A fronteira de
é o lugar dos pontos onde não é possível achar vizinhanças totalmente dentro ou totalmente fora de
. Há dois pedaços:
\quad – as arestas do losango, dadas por , já que esses pontos pertencem a
e qualquer bola em torno deles sai do losango.
\quad – o círculo interno, dado por , pois esses pontos não pertencem a
e qualquer bola em torno deles intercepta
.
\quad – as arestas do losango, dadas por
\quad – o círculo interno, dado por
Passo 5
Para classificar:
\quad – não é aberto porque inclui pontos da fronteira do losango.
\quad – não é fechado porque não inclui o círculo .
\quad – é limitado, pois está contido no losango de raio máximo .
\quad – logo, não é compacto, pois não é fechado (mesmo sendo limitado).
\quad – é conexo (path-connected), pois é o losango inteiro com um “buraco” circular no meio, mas esse buraco não desconecta o conjunto dentro do losango.
\quad –
\quad – não é fechado porque não inclui o círculo
\quad – é limitado, pois está contido no losango de raio máximo
\quad – logo, não é compacto, pois não é fechado (mesmo sendo limitado).
\quad – é conexo (path-connected), pois é o losango inteiro com um “buraco” circular no meio, mas esse buraco não desconecta o conjunto dentro do losango.
Resposta
A fronteira de
é
$${(x,y)\in\mathbb{R}2:|x|+|y|=2},\cup,{(x,y)\in\mathbb{R}2:x2+y2=1}.
$$
O conjunto
não é aberto, não é fechado, é limitado, não é compacto e é conexo.