Esboce o conjunto R do plano R^2 dada abaixo e determine sua fronteira. Classifique R em: aberto, fechado, limitado, compacto, ou conexo.
R=(x, y) in R^2 ;|x|+|y| <= 2 e 1

Passo 1

O enunciado pede para trabalhar com o conjunto RsubsetR^2 definido por duas condições simultâneas: |x|+|y|<=2 e x^2+y^2>1. O conteúdo é topologia em R^2: vamos usar definições de conjunto aberto, fechado, fronteira, limite, conexidade e compacidade.

Passo 2

Primeiro, entenda cada condição separadamente. A desigualdade |x|+|y|<=2 descreve o losango (ou diamante) fechado com vértices em (pm2,0) e (0,pm2). A condição x^2+y^2>1 é o exterior aberto do círculo de raio 1 centrado na origem. O conjunto R é a interseção desses dois: o interior do losango (incluindo suas arestas) de onde tiramos o disco fechado de raio 1.

Passo 3

Para esboçar, desenhe primeiro o losango |x|+|y|=2, depois o círculo x^2+y^2=1. A região R fica entre essas duas fronteiras: pontos dentro ou sobre o losango, mas sempre fora do disco de raio 1 (excluindo o círculo interior).

Passo 4

A fronteira de R é o lugar dos pontos onde não é possível achar vizinhanças totalmente dentro ou totalmente fora de R. Há dois pedaços:
\quad – as arestas do losango, dadas por |x|+|y|=2, já que esses pontos pertencem a R e qualquer bola em torno deles sai do losango.
\quad – o círculo interno, dado por x^2+y^2=1, pois esses pontos não pertencem a R e qualquer bola em torno deles intercepta R.

Passo 5

Para classificar:
\quad – R não é aberto porque inclui pontos da fronteira do losango.
\quad – não é fechado porque não inclui o círculo x^2+y^2=1.
\quad – é limitado, pois está contido no losango de raio máximo 2raiz2.
\quad – logo, não é compacto, pois não é fechado (mesmo sendo limitado).
\quad – é conexo (path-connected), pois é o losango inteiro com um “buraco” circular no meio, mas esse buraco não desconecta o conjunto dentro do losango.

Resposta

A fronteira de R é
$${(x,y)\in\mathbb{R}2:|x|+|y|=2},\cup,{(x,y)\in\mathbb{R}2:x2+y2=1}.
$$
O conjunto (x,y)inR^2:|x|+|y|=2,cup,(x,y)inR^2:x^2+y^2=1 não é aberto, não é fechado, é limitado, não é compacto e é conexo.

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