Esboce a região R=(x, y) in R^2 ;(x^2+y^2-1)[(x-1)^2+y^2-1]<0, verifique que ela é aberta e determine sua fronteira.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão pede: precisamos esboçar a região R definida pelos pontos (x, y) no plano que satisfazem a inequação (x^2 + y^2 - 1)[(x - 1)^2 + y^2 - 1] < 0. Além disso, devemos verificar se essa região é aberta e determinar sua fronteira.
Para resolver isso, vamos trabalhar com equações de círculos, entender onde cada expressão é positiva ou negativa e analisar o produto dessas expressões.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as duas expressões dentro da inequação:
  1. Primeira expressão: x^2 + y^2 - 1
    • Isso representa a equação de um círculo com raio 1 e centro na origem (0, 0).
    • Quando x^2 + y^2 - 1 < 0, os pontos estão dentro desse círculo.
    • Quando x^2 + y^2 - 1 > 0, os pontos estão fora do círculo.
  2. Segunda expressão: (x - 1)^2 + y^2 - 1
    • Essa é a equação de outro círculo com raio 1 e centro em (1, 0).
    • Quando (x - 1)^2 + y^2 - 1 < 0, os pontos estão dentro desse segundo círculo.
    • Quando (x - 1)^2 + y^2 - 1 > 0, os pontos estão fora do círculo.

Passo 3

Queremos que o produto dessas duas expressões seja menor que zero:
(x^2 + y^2 - 1)[(x - 1)^2 + y^2 - 1] < 0
Para que o produto de dois números seja negativo, um dos números precisa ser positivo e o outro negativo. Portanto, temos duas situações:
  1. Primeiro fator positivo e segundo fator negativo:
    x^2 + y^2 - 1 > 0 e (x - 1)^2 + y^2 - 1 < 0
  2. Primeiro fator negativo e segundo fator positivo:
    x^2 + y^2 - 1 < 0 e (x - 1)^2 + y^2 - 1 > 0

Passo 4

Vamos analisar cada caso separadamente:
  1. Caso 1: x^2 + y^2 - 1 > 0 e (x - 1)^2 + y^2 - 1 < 0
    • Primeiro círculo: Pontos fora do círculo de raio 1 centrado na origem.
    • Segundo círculo: Pontos dentro do círculo de raio 1 centrado em (1, 0).
  2. Caso 2: x^2 + y^2 - 1 < 0 e (x - 1)^2 + y^2 - 1 > 0
    • Primeiro círculo: Pontos dentro do círculo de raio 1 centrado na origem.
    • Segundo círculo: Pontos fora do círculo de raio 1 centrado em (1, 0).

Passo 5

Para visualizar melhor, vamos esboçar os dois círculos no plano:
  • Círculo 1: Centro em (0, 0), raio 1.
  • Círculo 2: Centro em (1, 0), raio 1.
Os círculos se intersectam, formando uma espécie de “olho” ou “lente” onde as regiões de cada caso se sobrepõem.

Passo 6

Caso 1: Pontos que estão fora do Círculo 1 e dentro do Círculo 2.
Esses pontos formam uma região que está à direita do Círculo 1 e à esquerda do Círculo 2.
Caso 2: Pontos que estão dentro do Círculo 1 e fora do Círculo 2.
Esses pontos formam uma região que está à esquerda do Círculo 1 e à direita do Círculo 2.

Passo 7

Esboçando a Região R:
A região R é a união das regiões dos dois casos descritos:
  • Primeira região: À direita do Círculo 1 e à esquerda do Círculo 2.
  • Segunda região: À esquerda do Círculo 1 e à direita do Círculo 2.
Visualmente, elas formam duas áreas tipo “olho”, uma de cada lado da linha que liga os centros dos círculos.

Passo 8

Verificando se a Região é Aberta:
Uma região é aberta se, para todo ponto dentro dela, existe um pequeno entorno que também está totalmente contido na região.
Neste caso, como a inequação é estrita ( < 0), não incluímos os pontos onde (x^2 + y^2 - 1)[(x - 1)^2 + y^2 - 1] = 0, ou seja, a fronteira dos círculos. Portanto, a região R não inclui sua fronteira, tornando-a aberta.

Passo 9

Determinação da Fronteira da Região R:
A fronteira da região consiste nos pontos onde a inequação se torna igual a zero:
(x^2 + y^2 - 1)[(x - 1)^2 + y^2 - 1] = 0
Isso ocorre quando ou x^2 + y^2 - 1 = 0 ou (x - 1)^2 + y^2 - 1 = 0.
Portanto, a fronteira da região R é a união das fronteiras dos dois círculos, ou seja, os próprios círculos com equações x^2 + y^2 = 1 e (x - 1)^2 + y^2 = 1.

Resposta

A região R é o conjunto de pontos no plano que estão fora do círculo de raio 1 centrado na origem e dentro do círculo de raio 1 centrado em (1, 0), ou dentro do círculo de raio 1 centrado na origem e fora do círculo de raio 1 centrado em (1, 0). Essa região é aberta, pois não inclui sua fronteira. A fronteira de R é formada pelos dois círculos x^2 + y^2 = 1 e (x - 1)^2 + y^2 = 1.

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