Esboce a região
, verifique que ela é aberta e determine sua fronteira.
Passo 1
Vamos resumir o que a questão pede: precisamos esboçar a região
definida pelos pontos
no plano que satisfazem a inequação
. Além disso, devemos verificar se essa região é aberta e determinar sua fronteira.
Para resolver isso, vamos trabalhar com equações de círculos, entender onde cada expressão é positiva ou negativa e analisar o produto dessas expressões.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as duas expressões dentro da inequação:
-
Primeira expressão:
- Isso representa a equação de um círculo com raio 1 e centro na origem
. - Quando
, os pontos estão dentro desse círculo. - Quando
, os pontos estão fora do círculo.
- Isso representa a equação de um círculo com raio 1 e centro na origem
-
Segunda expressão:
- Essa é a equação de outro círculo com raio 1 e centro em (1, 0).
- Quando
, os pontos estão dentro desse segundo círculo. - Quando
, os pontos estão fora do círculo.
Passo 3
Queremos que o produto dessas duas expressões seja menor que zero:
Para que o produto de dois números seja negativo, um dos números precisa ser positivo e o outro negativo. Portanto, temos duas situações:
-
Primeiro fator positivo e segundo fator negativo:
-
Primeiro fator negativo e segundo fator positivo:
Passo 4
Vamos analisar cada caso separadamente:
-
Caso 1:
e - Primeiro círculo: Pontos fora do círculo de raio 1 centrado na origem.
- Segundo círculo: Pontos dentro do círculo de raio 1 centrado em (1, 0).
-
Caso 2:
e - Primeiro círculo: Pontos dentro do círculo de raio 1 centrado na origem.
- Segundo círculo: Pontos fora do círculo de raio 1 centrado em (1, 0).
Passo 5
Para visualizar melhor, vamos esboçar os dois círculos no plano:
- Círculo 1: Centro em
, raio 1. - Círculo 2: Centro em
, raio 1.
Os círculos se intersectam, formando uma espécie de “olho” ou “lente” onde as regiões de cada caso se sobrepõem.
Passo 6
Caso 1: Pontos que estão fora do Círculo 1 e dentro do Círculo 2.
Esses pontos formam uma região que está à direita do Círculo 1 e à esquerda do Círculo 2.
Caso 2: Pontos que estão dentro do Círculo 1 e fora do Círculo 2.
Esses pontos formam uma região que está à esquerda do Círculo 1 e à direita do Círculo 2.
Passo 7
Esboçando a Região
:
A região
é a união das regiões dos dois casos descritos:
- Primeira região: À direita do Círculo 1 e à esquerda do Círculo 2.
- Segunda região: À esquerda do Círculo 1 e à direita do Círculo 2.
Visualmente, elas formam duas áreas tipo “olho”, uma de cada lado da linha que liga os centros dos círculos.
Passo 8
Verificando se a Região é Aberta:
Uma região é aberta se, para todo ponto dentro dela, existe um pequeno entorno que também está totalmente contido na região.
Neste caso, como a inequação é estrita (
), não incluímos os pontos onde
, ou seja, a fronteira dos círculos. Portanto, a região
não inclui sua fronteira, tornando-a aberta.
Passo 9
Determinação da Fronteira da Região
:
A fronteira da região consiste nos pontos onde a inequação se torna igual a zero:
Isso ocorre quando ou
ou
.
Portanto, a fronteira da região
é a união das fronteiras dos dois círculos, ou seja, os próprios círculos com equações
e
.
Resposta
A região
é o conjunto de pontos no plano que estão fora do círculo de raio 1 centrado na origem e dentro do círculo de raio 1 centrado em
, ou dentro do círculo de raio 1 centrado na origem e fora do círculo de raio 1 centrado em
. Essa região é aberta, pois não inclui sua fronteira. A fronteira de
é formada pelos dois círculos
e
.