Esboce os conjuntos de nível de
, para os seguintes valores de
(i)
(i)
Passo 1
O enunciado pede para desenhar os contornos (conjuntos de nível) da função f(x,y)=e{x2+y^2} para valores de c, isto é, o lugar geométrico de (x,y) tal que f(x,y)=c. Como f(x,y)=e{x2+y^2} é sempre positiva, só existem conjuntos de nível para c>0. Igualando f(x,y)=c, temos
Passo 2
Tomando logaritmo natural dos dois lados (lembrando que c>0),
Passo 3
Portanto cada contorno é um círculo de raio R=\sqrt{\ln c}. Há três casos a considerar: (i) se 0<c<1 então \ln c<0 e não há pontos reais; (ii) se c=1 então \ln c=0 e o conjunto de nível é apenas o ponto (0,0); (iii) se c>1 então \ln c>0 e o conjunto de nível é o círculo centrado na origem de raio \sqrt{\ln c}.
Resposta
Os conjuntos de nível são os círculos
a
a
com raio R=\sqrt{\ln c}. Só existem para c\ge1 (c=1 dá o ponto (0,0), c>1 dá círculos de raio positivo).