Use o Teorema de Stokes para calcular integralC F d r. Em cada caso, C é orientado no sentido antihorário quando visto de cima.
F(x, y, z)=(2 y, x z, x+y), C é a intersecção do plano y=z-2 com o cilindro x^2+y^2=1.

Passo 1

O enunciado pede para usar o Teorema de Stokes e calcular ointC Fcdot d r, onde F(x,y,z)=(2y,; xz,; x+y) e C é a curva fechada de intersecção do plano y=z-2 com o cilindro x^2+y^2=1, orientada anti-horário vista de cima. Vamos precisar de cálculo de nablatimes F e de um método de parametrização da superfície limitada por C.

Passo 2

Primeiro, calculamos o rotor de F. Usando a definição nablatimes F = l(partialyFz-partialzFy,,-(partialxFz-partialzFx),,partialxFy-partialyFxr), obtemos
$$
abla\times\mathbf F = (1-x,;-1,;z-2).
$$

Passo 3

Escolhemos como superfície S o pedaço do plano z=y+2 para x^2+y^2<=1, pois C é sua fronteira. Como a orientação de C é anti-horário vista de cima, usamos a normal que aponta para cima (com componente k>0).

Passo 4

Parametrizamos S por r(x,y)=(x,y,y+2), com
x^2+y^2<=1. Então
rx=(1,0,0), ry=(0,1,1)
e
rxtimes ry=(0,-1,1),
cuja componente k=1>0 garante a orientação correta.

Passo 5

Pelo Teorema de Stokes,
ointC Fcdot d r =integral duplaS(nablatimes F)cdot(d S) =integral duplaD(nablatimes F)cdot( rxtimes ry),dx,dy
Substituindo nablatimes F=(1-x,-1,z-2) e rxtimes ry=(0,-1,1),
(nablatimes F)cdot(0,-1,1)=1+(z-2)
Mas como z=y+2, isso vira 1+y.

Passo 6

Fica então
ointC Fcdot d r =integral duplax^2+y^2<=1(1+y),dx,dy =integral duplaD1,dx,dy+integral duplaDy,dx,dy =pi+0= pi,
pois a área do disco de raio 1 é pi e a integral de y por simetria anula.

Passo 7

Passo 8

Resposta

pi

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