Use o Teorema de Stokes para calcular
. Em cada caso,
é orientado no sentido antihorário quando visto de cima.
é a intersecção do plano
com o cilindro
.
Passo 1
O enunciado pede para usar o Teorema de Stokes e calcular
, onde
e
é a curva fechada de intersecção do plano
com o cilindro
, orientada anti-horário vista de cima. Vamos precisar de cálculo de
e de um método de parametrização da superfície limitada por
.
Passo 2
Primeiro, calculamos o rotor de
. Usando a definição
, obtemos
$$
abla\times\mathbf F = (1-x,;-1,;z-2).
$$
Passo 3
Escolhemos como superfície
o pedaço do plano
para
, pois
é sua fronteira. Como a orientação de
é anti-horário vista de cima, usamos a normal que aponta para cima (com componente
).
Passo 4
Parametrizamos
por
, com
. Então
e
cuja componente
garante a orientação correta.
Passo 5
Pelo Teorema de Stokes,
Substituindo
e
,
Mas como
, isso vira
.
Passo 6
Fica então
pois a área do disco de raio 1 é
e a integral de
por simetria anula.