Use a fórmula de Taylor com resto integral para calcular:
tan (61^circ) com precisão de 5 casas decimais.

Passo 1

O enunciado pede para calcular tan(61^circ) com 5 casas decimais usando a fórmula de Taylor com resto integral. O conteúdo que vamos usar é:
  1. fórmula de adição de ângulos para a tangente,
  2. expansão de Taylor (Maclaurin) de tan x em x=0 com resto integral,
  3. conversão de graus para radianos.

Passo 2

Primeiro, escrevemos 61^circ como soma de 60^circ e 1^circ e aplicamos a fórmula de adição:
tanl(60^circ+1^circr) =tan 60^circ + tan 1^circ1 - tan 60^circ,tan 1^circ
Sabemos que
tan 60^circ = raiz3
Resta, então, achar tan 1^circ por Taylor em torno de 0. Para isso, convertemos 1^circ em radianos:
b = 1^circ = pi180 (rad)

Passo 3

A expansão de Maclaurin de tan x até a quinta ordem é
tan x = x + x^33 + 2,x^515 + R5(x),
onde o resto em forma integral vale
R5(x) =integral0^xtan^(6)(t)5!,(x - t)^5,dt

Passo 4

Para 0<= t<= b, temos cos t>= cos b>0, logo sec t e todas as derivadas de tan t ficam limitadas por uma constante M próxima de 1. Assim
l|R5(b)r| <= sup0<= t<= b|tan^(6)(t)|5!,integral0^b(b-t)^5dt =M5!,b^66 ll 10^-12
Ou seja, o resto é desprezível frente a 5times10^-6.
Então, basta usar os três primeiros termos:
tan b approx b + b^33 + 2,b^515
Calculando numericamente, com
b=pi180approx0,01745329252,
b^3approx5,316times10^-6, b^5approx1,619times10^-9,
tan b approx 0,01745329252 + 5,316times10^-63 + 2,(1,619times10^-9)15 approx0,01745506493

Passo 5

Agora aplicamos a fórmula de adição:
tan(61^circ) approx raiz3 + 0,01745506493 1 - raiz3times0,01745506493
Numericamente,
raiz3approx1,73205080757,
numerador = 1,73205080757 + 0,01745506493 = 1,74950587250,
denominador = 1 - 1,73205080757cdot0,01745506493 =1 - 0,03015368961 = 0,96984631039,
tan(61^circ)approx 1,749505872500,96984631039 approx1,80404775527

Passo 6

Arredondando para cinco casas decimais, obtemos

Resposta

tan(61^circ)approx1,80405

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