Use a fórmula de Taylor com resto integral para calcular:
O número real e com precisão de 5 casas decimais.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar o número e=exp(1) com precisão de cinco casas decimais, usando o desenvolvimento de Taylor em torno de zero e o resto na forma integral.

Passo 2

A fórmula de Taylor de ordem n para e^x em torno de 0 com resto integral é
e^x ;=;sumk=0^nx^kk!;+;Rn(x),
onde
Rn(x);=;1n!integral0^x(x - t)^n,e^t,dt

Passo 3

No caso x=1 temos
e ;=;sumk=0^n1k!;+;Rn(1),
com
Rn(1)=1n!integral0^1(1 - t)^n,e^t,dt
Para estimar ,Rn(1), note que e^t<= e em [0,1], então
0<= Rn(1)<= en!integral0^1(1 - t)^ndt =en!;1n+1 =e(n+1)!

Passo 4

Queremos Rn(1) menor que metade da unidade da quinta casa decimal, isto é
Rn(1)<= 0,5times 10^-5
Como e<3, basta escolher n tal que
3(n+1)!<= 0,5times 10^-5
Testando fatoriais, para n+1=10 temos 10!=3,628,800 e
310!approx8,27times10^-7<5times10^-6,
logo n=9 garante a precisão desejada.

Passo 5

Calculamos a soma parcial até k=9:
S9=sumk=0^91k! =1 + 1 + tfrac12 + tfrac16 + tfrac124 + tfrac1120 +tfrac1720 + tfrac15040 + tfrac140320 + tfrac1362880
Numericamente:
S9approx2,7182815256

Passo 6

Arredondando S9 para cinco casas decimais, como o sexto algarismo é 1, temos
eapprox2,71828

Resposta

eapprox2,71828

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