Esboce os conjuntos de nível de f, para os seguintes valores de c
f(x, y)=x^2y^2+1 c=0,1

Passo 1

O enunciado pede para esboçar os conjuntos de nível de
f(x,y)=x^2y^2+1
para os valores c=0 e c=1. Um conjunto de nível para um valor c é o conjunto de todos os pontos (x,y) tais que f(x,y)=c.

Passo 2

Para caracterizar o conjunto de nível genérico, igualamos
f(x,y)=cLongrightarrow x^2y^2+1=c
e obtemos a equação implícita
x^2=c,(y^2+1)
Note que só existe solução real quando c>= 0.

Passo 3

No caso c=0 a equação fica
x^2=0cdot(y^2+1)=0
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x=0
Isso significa que o conjunto de nível é a reta vertical x=0, ou seja, todo o eixo y.

Passo 4

No caso c=1 a equação implícita é
x^2=1,(y^2+1)Longrightarrow x^2-y^2=1
Esta é a equação de uma hipérbole equilátera com ramos abertos nos eixos x positivo e negativo.

Resposta

Para c=0 o conjunto de nível é a reta x=0.
Para c=1 o conjunto de nível é a hipérbole de equação x^2-y^2=1, com dois ramos simétricos em relação à origem.

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