Esboce os conjuntos de nível de f, para os seguintes valores de c
f(x, y)=xx^2+y^2+1 c=-1,0,1

Passo 1

O enunciado pede o esboço dos conjuntos de nível
(x,y)mid f(x,y)=c,
onde
f(x,y)=xx^2+y^2+1
para os valores c=-1,0,1.
O que vamos usar aqui é resolver a equação
xx^2+y^2+1=c
e identificar se dá reta, círculo, ponto ou vazio.

Passo 2

Começamos multiplicando ambos os lados por (x^2+y^2+1):
x = c,(x^2+y^2+1)
Reorganizando todos os termos de um lado, obtemos
c,x^2 - x + c,y^2 + c = 0

Passo 3

Caso c=0, a equação fica
0cdot x^2 - x + 0cdot y^2 + 0 = 0 ;Longrightarrow; -x=0 ;Longrightarrow; x=0
Logo, para c=0 o conjunto de nível é a reta vertical x=0.

Passo 4

Caso cneq 0, dividimos a equação por c:
x^2 + y^2 +1 - xc = 0

Passo 5

Agora completamos o quadrado em x:
x^2 - xc = l(x-12cr)^2 - 14c^2,
então a equação vira
l(x-12cr)^2 + y^2 = 14c^2 - 1 = 1-4c^24c^2
Isto é, para |c|<= tfrac12 temos um círculo de centro l(tfrac12c,0r) e raio
raiz1-4c^24c^2
Para |c|>tfrac12 o lado direito fica negativo, não há pontos reais (conjunto vazio). Para |c|=tfrac12 o círculo degenera num ponto.

Passo 6

Aplicando para c=1 e c=-1, temos |c|=1>tfrac12, logo
1-4c^2 = 1-4 = -3 < 0,
não existe ponto real que satisfaça, ou seja, o conjunto de nível é o conjunto vazio.

Resposta

Para c=-1: conjunto vazio.
Para c=0: reta x=0.
Para c=1: conjunto vazio.

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