Calcule as integrais indefinidas:
\int \frac{4 x{3}}{\left(x{4}+1\right)} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral 4x^3x^4+1,dx
O conteúdo principal aqui é a técnica de substituição, pois vamos reconhecer no numerador a derivada do denominador.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = x^4 + 1
cuja derivada é
du = 4x^3,dx
Isso mostra que 4x^3,dx no numerador se transforma exatamente em du.

Passo 3

Substituindo na integral original, obtemos
integral 4x^3x^4+1,dx = integral duu
E sabemos que
integral duu = lnl|ur| + C

Passo 4

Voltando à variável x, temos
lnl|x^4+1r| + C
Como x^4+1>0 para todo xinR, podemos omitir as barras de valor absoluto.

Resposta

lnl(x^4+1r) + C

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