A função de produção de Cobb-Douglas é usada na economia para modelar os níveis de produção baseados na mão de obra e equipamentos. Suponha que tenhamos uma função de Cobb-Douglas específica da forma
onde
é o valor em reais gasto em mão de obra e
o valor em reais gasto em equipamentos. Use o método de multiplicadores de Lagrange para determinar quanto deve ser gasto em mão de obra e quanto em equipamento para maximizar a produtividade se tivermos um total de 1,5 milhões de reais para investir em mão de obra e equipamento.
Passo 1
O enunciado pede que encontremos os valores de quanto gastar em mão de obra e quanto gastar em equipamento para maximizar a produtividade, dado um orçamento total fixo. Informações dadas:
Pergunta explícita: determinar
e
que maximizam
respeitando a restrição orçamentária.
Passo 2
Escolhemos o método dos multiplicadores de Lagrange. Vou explicar a ideia de forma bem direta: quando queremos maximizar uma função
sujeita a uma restrição
, introduzimos uma nova variável
(o multiplicador de Lagrange) e construímos a função
A condição de ótimo interior exige que as derivadas parciais de
em relação a
,
e
sejam zero. Aqui a restrição é
. O
pode ser interpretado como a taxa marginal de substituição entre o objetivo e a restrição (quanto o objetivo aumenta se houver um pequeno aumento do orçamento).
Passo 3
Montamos a função de Lagrange no nosso caso:
Definições:
é o multiplicador de Lagrange; as variáveis
devem ser positivas (gastos).
Passo 4
Calculamos as derivadas parciais. Primeiro a derivada de
é
(regra do poder:
). Assim:
Analogamente para
:
E a derivada em relação a
recupera a restrição:
Passo 5
Impondo as condições de primeiro-ordem (igualar as derivadas a zero):
Das duas primeiras equações isolamos
e igualamos (porque ambas são iguais a
):
Passo 6
Simplificamos a igualdade acima: podemos cancelar o fator
dos dois lados, ficando
Multiplicamos ambos os lados por
para eliminar os expoentes negativos:
Isso dá a relação simples entre
e
:
Ou seja
e também
.
Passo 7
Agora usamos a restrição orçamentária
. Substituindo
em
obtemos
Isolando
:
E então
Passo 8
Checagem e intuição rápida: a função de Cobb–Douglas com expoentes positivos geralmente leva a alocação do orçamento proporcional aos expoentes. Aqui os expoentes são
e
; portanto a parte do orçamento destinada a
será
do total, e a destinada a
será
do total. Isso bate com os resultados numéricos:
e
. Sobre a natureza do ponto: como os expoentes estão entre 0 e 1 e positivos, a função é bem comportada (quase sempre concava na região positiva) e a solução interior encontrada é o máximo global sob a restrição.
Resposta
Mão de obra:
reais
Equipamentos: reais
Equipamentos: