A função de produção de Cobb-Douglas é usada na economia para modelar os níveis de produção baseados na mão de obra e equipamentos. Suponha que tenhamos uma função de Cobb-Douglas específica da forma
f(x, y)=50 x^{0.4} y^{0.6}
onde x é o valor em reais gasto em mão de obra e y o valor em reais gasto em equipamentos. Use o método de multiplicadores de Lagrange para determinar quanto deve ser gasto em mão de obra e quanto em equipamento para maximizar a produtividade se tivermos um total de 1,5 milhões de reais para investir em mão de obra e equipamento.

Passo 1

O enunciado pede que encontremos os valores de quanto gastar em mão de obra e quanto gastar em equipamento para maximizar a produtividade, dado um orçamento total fixo. Informações dadas:
f(x,y)=50\,x^{0{,}4}y^{0{,}6}
x=\text{valor em reais gasto em mão de obra}ã
y=\text{valor em reais gasto em equipamentos}
x+y=1500000 \quad(\text{orçamento total de }1{,}5\text{ milhão de reais})çã
Pergunta explícita: determinar x e y que maximizam f(x,y) respeitando a restrição orçamentária.

Passo 2

Escolhemos o método dos multiplicadores de Lagrange. Vou explicar a ideia de forma bem direta: quando queremos maximizar uma função f(x,y) sujeita a uma restrição g(x,y)=0, introduzimos uma nova variável \lambda (o multiplicador de Lagrange) e construímos a função
\mathcal{L}(x,y,\lambda)=f(x,y)+\lambda\bigl(\text{resta}\bigr).
A condição de ótimo interior exige que as derivadas parciais de \mathcal{L} em relação a x, y e \lambda sejam zero. Aqui a restrição é x+y-1500000=0. O \lambda pode ser interpretado como a taxa marginal de substituição entre o objetivo e a restrição (quanto o objetivo aumenta se houver um pequeno aumento do orçamento).

Passo 3

Montamos a função de Lagrange no nosso caso:
\mathcal{L}(x,y,\lambda)=50\,x^{0{,}4}y^{0{,}6}+\lambda\bigl(1500000-x-y\bigr).
Definições: \lambda é o multiplicador de Lagrange; as variáveis x,y devem ser positivas (gastos).

Passo 4

Calculamos as derivadas parciais. Primeiro a derivada de x^{0{,}4} é 0{,}4\,x^{-0{,}6} (regra do poder: \frac{d}{dx}x^{a}=a x^{a-1}). Assim:
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x}=50\cdot 0{,}4\,x^{-0{,}6}y^{0{,}6}-\lambda.
Analogamente para y:
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial y}=50\cdot 0{,}6\,x^{0{,}4}y^{-0{,}4}-\lambda.
E a derivada em relação a \lambda recupera a restrição:
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \lambda}=1500000-x-y.

Passo 5

Impondo as condições de primeiro-ordem (igualar as derivadas a zero):
50\cdot 0{,}4\,x^{-0{,}6}y^{0{,}6}-\lambda=0,
50\cdot 0{,}6\,x^{0{,}4}y^{-0{,}4}-\lambda=0,
1500000-x-y=0.
Das duas primeiras equações isolamos \lambda e igualamos (porque ambas são iguais a \lambda):
50\cdot 0{,}4\,x^{-0{,}6}y^{0{,}6}=50\cdot 0{,}6\,x^{0{,}4}y^{-0{,}4}.

Passo 6

Simplificamos a igualdade acima: podemos cancelar o fator 50 dos dois lados, ficando
0{,}4\,x^{-0{,}6}y^{0{,}6}=0{,}6\,x^{0{,}4}y^{-0{,}4}.
Multiplicamos ambos os lados por x^{0{,}6}y^{0{,}4} para eliminar os expoentes negativos:
0{,}4\,y^{1{,}0}=0{,}6\,x^{1{,}0}.
Isso dá a relação simples entre x e y:
\frac{x}{y}=\frac{0{,}4}{0{,}6}=\frac{2}{3}.
Ou seja x=\tfrac{2}{3}y e também y=\tfrac{3}{2}x.

Passo 7

Agora usamos a restrição orçamentária x+y=1500000. Substituindo y=\tfrac{3}{2}x em x+y obtemos
x+\tfrac{3}{2}x=\frac{5}{2}x=1500000.
Isolando x:
x=1500000\cdot\frac{2}{5}=1500000\cdot 0{,}4=600000.
E então
y=1500000-x=1500000-600000=900000.

Passo 8

Checagem e intuição rápida: a função de Cobb–Douglas com expoentes positivos geralmente leva a alocação do orçamento proporcional aos expoentes. Aqui os expoentes são 0{,}4 e 0{,}6; portanto a parte do orçamento destinada a x será 0{,}4/(0{,}4+0{,}6)=0{,}4 do total, e a destinada a y será 0{,}6/(0{,}4+0{,}6)=0{,}6 do total. Isso bate com os resultados numéricos: x=0{,}4\cdot 1500000=600000 e y=0{,}6\cdot 1500000=900000. Sobre a natureza do ponto: como os expoentes estão entre 0 e 1 e positivos, a função é bem comportada (quase sempre concava na região positiva) e a solução interior encontrada é o máximo global sob a restrição.

Resposta

Mão de obra: 600000 reais
Equipamentos: 900000 reais

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